Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 27

Để khảo sát một chuyển động, ta phải biết cách giải phương trình Schrödinger Nhưng việc giải chính xác phương trình như vậy chỉ có thể thực hiện được trong vài trường hợp rất đặc biệt Trong những trường hợp khác, ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 27 Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Để khảo sát một chuyển động, ta phải biết cách giải phương trình Schrödinger Nhưng việc giải chính xác phương trình như vậy chỉ có thể thực hiện được trong vài trường hợp rất đặc biệt Trong những trường hợp khác, ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúngTrong chương này, ta sẽ là quen với một trong những phương pháp giải gầnđúng quan trọng nhất: ˆ ˆCoi hamiltonian H của hạt (hoặc hệ hạt) như là nhận được từ một hamiltonian H 0(ứng với một phương trình có thể giải chính xác) bằng tác dụng một “nhiễu loạn”{H − H } lên hệ, sau dó “điều chỉnh” nghiệm chính xác ứng vớiH ˆ ˆ 0 ˆ 0 theo nhiẽu loạn Trong bài này ta chỉ xét “nhiễu loạn dừng” { ˆ ˆ tức là H − H 0 } không phụ thuộc thời gian. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam1. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ nhất ˆNhư đã nói trên, giả sử H 0 là hamiltonian ứng với phương trình Schrödinger giả được chính xác.Khi đó, ta có thể tìm được các trạng thái dừng ψ n 0 0 ứng với các trị riêng E n (n=1, 2, 3, …) tức là: ˆ 0 H 0ψ n = E nψ n 0 0 (27.1) ˆ Tiếp theo, giả sửH là hamiltonian của hạt đang dược khảo sát ˆ ˆ Giả sử H khá gần với H 0 tức là: ˆ ˆ H = H 0 + εWˆ (27.2) ˆvới W là một toán tử cho trước, ε là một hằng số rất nhỏ (từ “rất nhỏ” có ý nghĩa cụ thể trong những bài toán cụ thể) gọi là tham số nhiễu loạn. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm hiểu E và ψ sao cho: Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ Hψ = Eψ (27.3) hay: (H ˆ 0 ˆ + εW ψ = Eψ ) (27.4) Nghiệm của (27.3) sẽ được tìm dưới dạng: ψ = ∑ a nψ n 0 (27.5) n Thế (27.5) vào (27.4), ta thu được: ∑ ( a n H 0ψ n + εWψ n = ∑ a n Eψ n ˆ 0 ˆ 0 0 ) ( ) n n hay: ∑n a n E nψ n + εWψ n = ∑ a n Eψ n 0 0 ˆ 0 0 n suy ra: ∑ ˆ [ a n εW + E − E n ψ n = 0 0 0 ( )] (27.6) n ψ n * ồi lấy tích phân trong toàn không gian, với giả thiết là hệNhân hai vế (27.6) với r 0 {ψ } 0 n đã được trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn), ta được: Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ∑ [δ ( E − E ) + εW ]a n mn 0 n mn n =0 ( 27.7) 0 ˆtrong đó: Wmn = ∫ψ m*Wψ n dv 0 (27.8)là phần tử của ma trậnWˆ Các đẳng thức (27.7) cho ta một hệ phương trình bậc nhất với vô số phương trình (m=1, 2, 3, …) và vô số ẩn số (a1, a2, a3,…)Nhớ rằng các hệ số a1, a2, a3,…và E là phụ thuộc ε, tức là chúng là các hàmcủa biến ε, ta viết chúng dưới dạng chuõi lũy thừa theo ε : +∞ a m = ∑ a m ...