Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 28

Sự tách mức năng lượng của nguyên tử trong điện trường ngoài (hiệu ứng Stark).Xét một nguyên tử trong điện trường đều có cường độ cỡ từ 104 đến 107V/m (dưới 104 V/m sự tách mức hầu như không quan sát được, còn trên 107 V/m thì xảy ra sự ion hóa: một vài electron bị bứt ra khỏi nguyên tử)....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 28 Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 28 HIỆU ỨNG STARK Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong bài này ta sẽ dùng phương pháp nhiễu loạn để chỉ ra bằng lý thuyết một hiệu ứng đã được phát hiện từ trước khi có cơ học lượng tử:sự tách mức năng lượng của nguyên tử trong điện trường ngoài(hiệu ứng Stark). Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Sơ lược về hiệu ứng Stark nói chung Xét một nguyên tử trong điện trường đều có cường độ cỡ từ 104 đến 107V/m (dưới 104 V/m sự tách mức hầu như không quan sát được, còn trên 107 V/m thì xảy ra sự ion hóa: một vài electron bị bứt ra khỏi nguyên tử). Điện trường như vậy là rất mạnh, tuy nhiên so với điện trường gây bởi hạt nhân trong phạm vi kích thước nguyên tử (cỡ 5. 1011V/m) thì vẫn còn là rất yếu, nên có thể coi như một nhiễu loạn Ký hiệu hàm thế năng của electron quang học trong nguyen tử là U(r) còn hàm thế năng của nó trong trường ngoài là V(r).  Giả sử điện trường ngoài Ehướng theo trục Oz. Khi đó, với giả thiết hạt nhân nằm ở gốc tọa độ, ta có Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam   V = V ( r ) = −ez E (28.1) phương trình cho trạng thái dừng của electron sẽ là: − 2 2 2µ [  ] ∇ ψ + U ( r ) − ez E ψ = Eψ (28.2)trước hét ta xét nguyên tử dạng hydrogen (không phải nguyên tử hydrogen Khi không có trường ngoài, các mức năng lượng của electron sẽ là. E = E nl (0 ≤ l≤ n-1; n = 1, 2, 3, …) và các hàm riêng tương ứng là: 0 ψ nlm = Rnl ( r )Ylm (θ , ϕ ) 0 (28.3) ( m ≤ l) Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 0Rõ ràng, mỗi mức năng lượng E nl có cấp suy biến là 2l+1 do m có thể lấy 2l+1 giá trị.Khi xét môt mức năng lượng xác định, hàm trạng thái chỉ còn phụthuộc m nên ta tạm thời ký hiệu nó với với một chỉ số m. Như vậy, các hàm riêng với mức năng lượng đã cho sẽ là: ψ −l ,ψ −l +1 ,...,ψ l0−1 ,ψ l0 0 0 (28.4)Hàn trạng thái tùy ý ở mức năng lượng E nl sẽ có dạng có dạng: 0 l ϕ= ∑ c mψ m m=−l 0 (28.5) Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namBằng cách tính trực tiếp hoặc dùng suy luận về tính đối xứng, dễthấy thế năng trung bình Vcủa electron quang học trong trường ngoài bằng 0. Mặt khác, Vcũng chính là hiệu chỉnh năng lượng trong xấp xỉ bậc nhất, nênkhẳng định vừa nêu có ý nghĩa là trong nguyên tử giống hydrogenkhông có hiệu ứng tách mức bậc cao nói chung vẫn tồn tại.Điều này liên quan với sự biến dạng của nguyên tử. Lúc đó, nguyên tử được xem như một lưỡng cực điện. Bằng những suy luận thông thường, người ta chứng minh được rằng thế năng của electron quang học có dạng: Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam α 2 V =− E (28.6) 2 trong đó α là một hằng số dương (rất nhỏ). Tương ứng, khoảng cách giữa hai mức năng lượng gần nhau tách 2 ra từ một mức suy biến cũng tăng tỷ lệ với EVới chính nguyên tử hydrrogen thì xảy ra một tình huống hoàn toàn khác. 0Do mỗi mức năng lượng E ntương ứng với n2 hàm riêng độc lập tuyến tính ψ nlm (l=0, 1, …, n-1 và với mỗi n thì m = -l, -l+1, …, l-1, l) 0 nên cấp suy biến tương ứng là 0 Trạng thái tổng quát ứng với E n n2. sẽ là: n −1 l ϕ = ∑ ∑ clmψ nlm 0 (28.7) l =0 m = − l Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namTrong mỗi trạng thái như vậy, dễ thấy giá trị trung bình Vcủa thế năng (trrong trường ngoài) đều khác 0 Do đó, tách mức bậc nhất (tỷ lệ thuận với E vẫn tồn tại). 2. Hiệu ứng Stark trong nguyên tử hydrrogenỞ đây ta chỉ xét môt trường hợp: sự tách của mức năng lượng thứhai (suy biến cấp 4).Bốn hàm riêng tương ứng là: ψ 200 = R20 .Y00 ψ = R .Y  210 21 10  (28.8) ψ 211 = R21 .Y11 ψ 21( −1) = R21 .Y1( −1)  Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namTrong đó:  1 − r 2 r0  r   R20 = e  1 −     ...