Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 30

Một trong những bài toán đặc trưng của Cơ học lượng tử là bài toán sau.Xét một hạt hoặc “một hệ hạt” theo một đặc trưng đại lượng vật lý L nào đó. Giả sử L có phổ là L1, L2,…, Ln,…, và ở thời điểm t0 = 0, hạt ở trạng thái cơ bản tức là mô tả bởi hàm riêng (x có thể là một hoặc bộ tọa độ)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 30 Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 30PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ HAI Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namMột trong những bài toán đặc trưng của Cơ h ọc lượng t ử làbài toán sau.Xét một hạt hoặc “một hệ hạt” theo một đặc tr ưng đại lượngvật lý L nào đó. Giả sử L có phổ là L1, L2,…, Ln,…, và ở thờiđiểm t0 = 0, hạt ở trạng thái cơ bản ntức là mô tả bởi hàm riêng ψ n = ψ n ( x )(x có thể là một hoặc bộ tọa độ) Sau thời gian t, hạt sẽ ở trạng thái mới là ψ ( x, t ) như vậy theo giả thiết thì ψ ( x,0 ) = ψ n ( x ) Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nói chung, trong trạng thái ψ ( x, t ) đại lượng L không có giá trị cụ thể nàoBây giờ, nếu tiến hành đo đại lượng L thì ta sẽ nhận được mộttrong các giá trị L1, L2,…. cm ( t ) 2Xác suất để nhận được giá trị thứ m (tức là Lm) sẽ là , nếu ψ ( x, t ) = ∑ c k ( t )ψ k ( x ) (30.1) kc m ( t ) (phụ thuộc t) gọi là xác suất chuyển dời sau thời gian t 2 từ trạng thái n m vào trạng thái Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namViệc tìm xác suất đó chính là mục đích của bài toán v ề chuy ểndời lượng tử.Để giải những bài toán như vậy, ta cần sử dụng phươngpháp nhiễu loạn thứ hai Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam1. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ haiXét phương trình Schrodinger: ∂ψ i = H 0ψ + W( x, t )ψ ˆ ˆ (30.2) ∂t W( x, t ) là nhiễu loạn nhỏ. ˆĐại lượng L ta xét ở đây sẽ là năng lượng của hạt, với các ˆmức E1, E2,… là các trị riêng của H 0Hàm trạng thái của hạt ta sẽ viết dưới dạng: − iEk ψ ( x, t ) = ∑ c k ( t )ψ k ( x )e t  (30.3) k Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam xác suất chuyển dời từ trạng thái n m pm ( t ) = cm ( t ) 2 ∂ψ vẫn là i = H 0ψ + W( x, t )ψ ˆ ˆ ∂t − iE k ψ ( x, t ) = ∑ c k ( t )ψ k ( x )e tThế (30.3) vào (30.2)  iE k k ( x)e tsau đó nhân hai vế với ψ * m rồi lấy tích phân theo x, ta được: Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam dc m i = ∑ Wmk ( t ) e c k ( t ) iω mk t (30.4) dt kWmk ( t ) = ∫ψ m ( x )W ( x, t )ψ k ( x ) dx * ˆ (30.5) Em − Ek ω mk = (30.6)  Rõ ràng, để tìm được các biểu thức của xác suất pm(t), ta cần phải giải hệ (30.4) để tìm ra các hàm cm(t) với điều kiện là: c k ( 0 ) = δ nk (30.7) ˆnếu trạng thái ban đầu là ψ n - hàm riêng của H 0 ...