Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Bài 3: Dao động mạng tinh thể

Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Bài 3: Dao động mạng tinh thể. Bài này cung cấp cho học viên những kiến thức về: dao động của chuỗi nguyên tử; dao động của mạng tinh thể; phương trình chuyển động của nguyên tử; lý thuyết lượng tử;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Bài 3: Dao động mạng tinh thể Baøi 3 1. Dao ñoäng cuûa chuoãi nguyeân töû Trong tinh theå caùc nguyeân töû dao ñoäng quanh caùc nuùt maïng trong khoâng gian 3 chieàu. Baøi toaùn cuûa moät heä haït coù töông taùc vôùi nhau vaø dao ñoäng vôùi bieân ñoä nhoû quanh vò trí caân baèng laø moät trong nhöõng baøi toaùn ñieån hình cuûa Cô hoïc coå ñieån. Ñeå thaáy moät soá tính chaát quan troïng cuûa caùc dao ñoäng ñoù ta baét ñaàu töø moät chuoãi thaúng cuûa caùc nguyeân töû. a. Chuoãi thaúng daøi voâ haïn cuûa caùc nguyeân töû coù cuøng khoái löôïng m d 2x n m 2 = - f [( x n - x n -1 ) - (x n +1 - x n )] dt xn laø ñoä leäch khoûi vò trí caân baèng cuûa nguyeân töû thöù n f laø haèng soá löïc ñaøn hoài töông taùc giöõa 2 nguyeân töû. Nghieäm coù daïng xn = A exp i ( wt + qna ) q - soá soùng Thay nghieäm vaøo phöông trình chuyeån ñoäng ñöôïc f 1 w = ±2 sin( qa) m 2 cho thaáy söï phuï thuoäc cuûa taàn soá dao ñoäng w vaøo soá soùng q : 2p w laø haøm tuaàn hoaøn cuûa q vôùi chu kyø a chæ caàn xeùt q trong khoaûng p p - £q£ a a Vuøng Brillouin thöù nhaát moät chieàu à Chæ caàn caùc böôùc soùng lôùn hôn 2a . ÔÛ hình treân , q = p/a töông öùng vôùi l=2a. q > p/a khoâng coù yù nghóa vaät lyù vì khoâng coù nguyeân töû dao ñoäng giöõa moät chu kyø. Nhö vaäy vectô soùng ñöôïc pheùp cho dao ñoäng maïng naèm trong vuøng Brillouin thöù nhaát ( |q| < p/a ). Do ñoù taát caû coù N giaù trò ñöôïc pheùp cuûa vectô soùng ( vaø böôùc soùng ) naèm trong khoaûng -p/a < q < p/a. Moãi giaù trò ñoù töông öùng vôùi moät mode dao ñoäng cuûa maïng. Mode ñoù ñöôïc goïi laø mode chuaån qa Vaän toác pha cuûa soùng trong chuoãi : w f sin 2 vp = = a ( ) ( vaän toác truyeàn cuûa caùc maët ñaúng pha ) q m qa 2 ª Vôùi q nhoû ( böôùc soùng daøi ) vaän toác pha vp = a(f/m)1/2 khoâng ñoåi vaø baèng vaän toác truyeàn aâm trong tinh theå ( ~ 3.105 cm/s ). ª Khi q taêng, vaän toác giaûm : hieän töôïng taùn saéc. Söï taùn saéc laø do aöï aûnh höôûng laãn nhau giöõa caùc phaàn neùn vaø daõn cuûa soùng. Vôùi caùc böôùc soùng ngaén caùc phaàn ñoù raát gaàn nhau. ª Khi l giaûm ñeán 2a caùc phaàn neùn vaø daõn buø tröø laãn nhau laøm soùng bieán maát --> vaän toác baèng 0. dw f qa Vaän toác truyeàn naêng löôïng - vaän toác nhoùm: v nhoùm = =a cos dq m 2 ÔÛ caùc bieân q = p/2 , vnhoùm = 0 : khoâng truyeàn naêng löôïng w (4f / m )1/ 2 w qa = sin (4f / m )1/ 2 2 Vuøng Brillouin thöù nhaát q q » 0, , l ® ¥ p q= , l = 2a a f 1 w = ±2 sin( qa) m 2 Vôùi q nhoû w f 2 m q Coù söï phuï thuoäc tuyeán tính trong mieàn naøy b. Chuoãi thaúng daøi L höõu haïn goàm N nguyeân töû coù cuøng khoái löôïng m f x(0) x(Na) x L = Na Ñieàu kieän bieân tuaàn hoaøn Ñieàu kieän bieân tuaàn hoaøn : xn = xn+N Born von Karman Töø xn = A exp i ( wt + qna ) exp inqa = exp i(n+N)qa exp iNqa = 1 = exp i2pj 2p Nqa =2pj q= j na j laø caùc soá nguyeân döông hoaëc aâm. f x L = Na Ñieàu kieän bieân tuaàn hoaøn : xn = xn+N Caùc giaù trò giaùn ñoaïn cuûa q xaùc ñònh N dao ñoäng rieâng cuûa chuoãi. Nghieäm toång quaùt thu ñöôïc töø söï toå hôïp tuyeán tính cuûa taát caû caùc nghieäm rieâng 2pn x n = å A s exp i(ws t + j) s N c. Chuoãi thaúng goàm 2 loaïi nguyeân töû coù khoái löôïng m vaø M d 2 x 2 n +1 m = - f [( x 2 n +1 - x 2 n ) - (x 2 n + 2 - x 2 n +1 )] dt 2 d 2x 2n M = - f [( x 2 n - x 2 n -1 ) - (x 2 n +1 - x 2 n )] dt 2 Nghieäm cuûa chuùng coù daïng x2n+1 = Am exp i [ wt + (2n+1)qa ] x2n = AM exp i [ wt + (2n)qa ] Thay caùc nghieäm naøy vaøo phöông trình chuyeån ñoäng töông öùng ñöôïc 2 phöông trình ñeå xaùc ñònh caùc bieân ñoä Am vaø AM. Töø ñieàu kieän ñeå cho nghieäm cuûa heä 2 phöông trình khoâng taàm thöôøng, ñònh thöùc cuûa caùc heä soá Am vaø AM phaûi baèng 0. Töø ñoù ì ...