Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

phương pháp quy nạp toán học nhằm giúp các em học sinh và giáo viên có những tài liệu quý giá phục vụ cho việc học tập và giảng dạy của mình hiệu quả nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán họcDaklak 23 October 20131./ PHƢƠNG PHÁP QUY NẠPTOÁN HỌC: Hoạt động mở đầuXét hai mệnh đề chứa biến P ( n) :3  n  100 nvà Q ( n) : 2 n  n với n N*Với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 thì P(n) , Q(n) đúng hay sai?Với mọi n N* thì P(n) , Q(n) đúng hay sai? Phương pháp chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên như sau:Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp) ,chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạpHoạt động 1:Tính:1+3=1+3+5=1+3+5+7=…………………1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n – 1) = Kết quả HĐ1: 11 2 1 1 3  2 1 3 2Quan sát , rútra qui luật 1 3 5 1 3 5  3 2 1 3 5 71 3  5  7  4 2Sn  1  3  5   (2n  1) Hoạt động 2:Cho An = 13n – 1Khi A1 , A2 , A3 , A4 có chia hết cho 6 không?Dự đoán An có chia hết cho 6 với mọi n  N* không?Kết quả HĐ 2:A1 = 131 – 1 chia hết cho 6A2 = 132– 1 chia hết cho 6A3 = 133 – 1 chia hết cho 6A4 = 134 – 1 chia hết cho 6………………..Dự đoán: An = 13n – 1 có chia hết cho 6 hay không?An  (13  1) 6 nHoạt động 3: Viết các hằng đẳng thức saua2 – b2 =a3 – b3 =a4 – b4 =…………………….Dự đoán: an – bn = với n N* và n ≥ 2Kết quả HĐ 3:a2 – b2 = (a – b)(a + b)a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)a4 – b4 = (a2 – b2)(a2 + b2) = (a – b)(a + b)(a 2 + b2) = (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3)Dự đoán: an – bn = n 1 n2 n2a  b  (a  b)(a  a b   ab  b ) n n n2. VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi sốNhóm1 nguyên dương n thì: 1 3  5   (2n  1)  n 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọiNhóm 2 số nguyên dương n thì: An  13  1 n chia hết cho 6 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi sốNhóm 3 nguyên dương n ≥ 2 thì: n 1 n2 n2 a  b  (a  b)(a  a b   a b  b ) n n n Lời giải ví dụ 1: Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 1,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúng Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn Sn  1  3  5   (2n  1) Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là: Sk  1  3  5   (2k 1)  k 2 Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:Sk 1  1  3  5   (2k 1)  [2(k+1)-1]  (k  1) 2Thật vậy ,ta có:Sk 1  Sk  [2(k+1)-1]  k  2k  1 2  (k  1) 2Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N* Lời giải ví dụ 2:Đặt An  13n  1Bước 1: Khi n = 1 A  12 6 1Vậy hệ thức (2) đúngBước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có : Ak  (13  1) 6 kTa chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là: k 1 Ak 1  (13  1) 6Thật vậy ,ta có:Ak 1  13  1 k k 1  (13  13 )  (13  1) k k  2.13  Akk 2.13k 6Vì:  nên Ak 1 6  Ak 6Vậy đẳng thức (2) đúng