Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 2: Dãy số

Khi học tập hay nghiên cứu một vấn đề đặc biệt trong toán học các bạn cần phải đi từ những khái niệm cụ thể nhất của vấn đề đó, trong toán về dãy số củng vậy trước hết ta xem dãy số có các khái niệm gì? Có khái niệm: hội tụ, bị chặn, đơn điệu. Vì thế chúng tôi đã công phu và rất kỹ lương trong việc tuyển tập bài giảng hay nhất về dãy số - Toán lớp 11, nhằm giúp các bạn có cơ sở hệ thống lại kiến thức củng như giải quyết được những bài toán dãy số khó thông qua những bài giảng hấp dẫn này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 2: Dãy sốBÀI 2: DÃY SỐHÌNH THÀNH KHÁI NIỆMCho hàm số u(n) = 2n +1 xác địnhn N*Hãy tính u(1); u(2); u(3); u(4); u(5),………Thay lần lượt thứ tự n = 1, 2, 3, 4, 5,…k…. vào u(n) = 2n +1 ta được: n = 1: u(1) = 3 n = 2: u(2) = 5 n = 3: u(3) = 7 n = 4: u(4) = 9 n = 5: u(5) = 11 ………………. n = k: u(k)= 2k + 1Nhận xét:Khi thay n theo thứ tự 1,2,3,4,5,…k,… thì ta được cácgiá trị tương ứng của u(n) lập thành một dãy số: 3, 5, 7, 9,11,…, 2k+1,….. I/ DÃY SỐ1/ Định nghĩa:* Hàm số u(n) xác định n N* được gọilà một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).* Kí hiệu dãy số là (un)Thay thứ tự n = 1, 2, 3,…….ta được các sốhạng tương ứng cuả dãy số là u1, u2,u3,……Dạng khai triển của dãy số (un) là: u1, u2, ........,un,..........Trong đó: u1 : số hạng thứ nhất u2 : số hạng thứ hai ................... un : số hạng thứ n hay được gọi là số hạng tổng quát của dãy số (un)* Nếu dãy số xác định trên tập M = {1,2,3,.....m} thì ta gọidãy số là dãy số hữu hạn.2/ VÍ DỤ:a) Cho dãy số u(n) = n2 . Hãy viết dạng khai triển của nó: 1, 4, 9, 16, 25..........b) Dãy số 1, 3, 5, 7,.....Hãy viết công thức cho số hạng tổng quát un : un=2n – 1 II/ CÁCH CHO DÃY SỐ:1/ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát:Cho dãy số (un) với un = 3n +1Dạng khai triển là: 4, 7, 10, 13,........ 2/ Dãy số cho bằng công thức truy hồi: u1  2Cho dãy số  (n  2) un  un1  3Dạng khai triển là: 2, 5, 8, 11, 14…… III/ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ 1Biểu diễn hình học của dãy số   như sau: n u5 u4 u3 u2 u1 un 0 1/5 ¼ 1/3 ½ 1 IV/ DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN1/ Dãy số tăng- dãy số giảm:* Dãy số (un) gọi là tăng nếu  nN* : un < un+1 ( u1 < u2 < ......... < un < un+1 un+1 (u1 > u2 > ......... > un > un+1>......)Ví dụ: Dãy (un) với un = 2n- n2 là dãy giảm 1, 0, -3, -8,........ * Phương pháp xét tính tăng - giảm của một dãy số:a) Dãy số (un) tăng  nN* , un+1 – un > 0b) Nếu các số hạng của dãy số (un) đều dương thì : un 1 Dãy số (un) tăng  n N* , 1 unTa có điều ngược lại cho dãy số giảm. VÍ DỤ Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :a) Dãy số (un) với un = n – 2nTa có un+1= n+1 – 2n+1Xét: un+1 – un = (n+1 – 2n+1) – (n – 2n) = 1 – 2n+1 + 2n = 1- 2.2n + 2n = 1 – 2n.(2-1) = 1 – 2n < 0Vậy (un) là dãy số giảmb) Dãy số (un) với un = n.an (a 1) un 1Ta thấy un > 0  N* nên ta xét tỉ số un n 1 un1 (n  1)a (n  1)a .a (n  1)a n  n  n  1 un n.a n.a n n 1 ( Vì 1 và a  1) nVậy dãy (un) tăng* Chú ý : Không phải mọi dãy số đều tăng hay giảmVí dụ: Dãy số (un) với un = (-3)n là dãy số không tăng không giảm: -3, 9, - 27, 81.... 2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN1/ Định nghĩa :- Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu  M sao cho:  n N* , un  M 1Ví dụ: Dãy số (un) với un  1 nBị chặn trên bởi chặn trên bởi số 2 1vì 1 n  N * n- Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu  m sao cho:  n N* , un  mVí dụ: Dãy số (un) với un=1 + n2 bị chặn dưới bởi số 1- Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức  m, M sao cho:  n N* , m  un  M 1Ví dụ: Dãy số (un) với un  1 nbị chặn dưới bởi 1 và chặn trên bởi 2 Ví dụ : Hãy chứng minh dãy số (un) 2n  1 với un = bị chặn. n 2n  1 Giải:* Ta có > 0 n  N* n- Mặt khác: 2n -1 < 2n 2n  1 2n 2n  1Suy ra 0 <   2 tức 0 < BÀI THU HOẠCH 2nCho dãy số (un) với un = 2 , nN* n 1a) Viết 5 số hạng đầu. 9b) Số là số hạ ...