Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phép toán trên các ma trận; Định thức; Ma trận khả nghịch; Hạng của ma trận;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - ThS. Lê Nhật NguyênĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ThS. Lê Nhật Nguyên Chương 1: Ma trận – Định thức – Hệ Phương Trình Bài 1: Ma trận1. Định nghĩa. Cho các số nguyên dưương m, n. Ma trận A cỡ m  n là một bảng hình chữ nhật gồm m.n số aij (i=1,…,m; j=1,…,n) đưược sắp thành m dòng, n cột:  a11 a12  a1n  a a22   a2 n    a   a   ij  mn  ij mn 21 A        am1 am 2  amn aij là phần tử (số hạng) nằm ở dòng thứ i, cột thứ j.Khi m=1, A đưược gọi là ma trận dòng: A   a1 1 a1 2  a1 n Khi n=1, A đưược gọi là ma trận cột  a1 1  a  A   21        a m1 Đặc biệt khi m=n=1, A gồm chỉ một phần tử: A   a1 1 Ta có thể đồng nhất A với phần tử đó.Ví dụ. 1  3 2 4 0   3 A  1 3 0 5 B  C   2 0 0 3 4  2  2 1 1 3    0 0 0 0 D   0 0 0 2. Ma trận không. Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0. Ký hiệu: Omn hay O.Ví dụ. 0 0 0 0 0 0 0 O23   O32     0 0 0  0 0 Nhận xét. Có nhiều ma trận không khác nhau.3. Ma trận bằng nhau.Hai ma trận A và B cùng cỡ mn gọi là bằng nhau nếu tấtcả các phần tử ở các vị trí tưương ứng bằng nhau.Ký hiệu. A = BVí dụ. 3 2 4 0  3 2 4 0  A  1 3 0 5 E  1 3 0 5 2 1 1 3  2 1 1 3  A=ESo sánh O23 và O32 ? O23  O324. Ma trận vuông.Khi số hàng bằng số cột (m=n), A = [aij]n gọi là ma trậnvuông cấp n Đường chéo phụ  a11 a12  a1n  a a   a2n  A  21 22       an1 an 2  ann  Đường chéo chính a11 a22 . . . annMột số ma trận vuông đặc biệt:4. Ma trận vuông. a) Ma trận đơn vị. Là ma trận vuông có các phần tửtrên đưường chéo chính bằng 1: a11 = a22 = . . . = ann =1và tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0.Ký hiệu. In hay I. 1 0  0  0 1  0 In           0 0  1Hỏi: Viết các 1ma0trận  đơn vị 1 cấp 0 20 và cấp 3 ? I2   I3  0 1 0 0 1     0 0 1 4. Ma trận vuông. b) Ma trận đối xứng. Là ma trận vuông A   aij  nthỏa mãn: aij  a ji với mọi i,j.Ví dụ.  2 3 1 A   3 4 5   1 5 0  Nhận xét. Các phần tử đối xứng nhau qua đưường chéo chính bằng nhau. c) Ma trận phản đối xứng. Là ma trận vuôngA   aij  thỏa mãn: aij  a ji với mọi i,j. nHỏi: aii =?aii = - aii  2 aii = 0  aii = 0 (i=1,2,…,n) 4. Ma trận vuông. b) Ma trận phản đối xứng. Là ma trận vuôngA = [aij]n thỏa mãn: aij = - aji với mọi i,j.Hỏi: aii =?aii = - aii  2 aii = 0  aii = 0 (i=1,2,…,n)Nhận xét. Các phần tử đối xứng nhau qua đưường chéochính đối nhau, các phần tử trên đưường chéo chính bằng 0.  0 2 3Ví dụ. A   2 0 1   3 1 0  Bài 2: Các phép toán trên các ma trận1. Phép cộng.Cho các ma trận A   aij  và B  bij  cùng cỡ mn mn m n A  B   aij  bij Ví dụ. m n  1 0 3  2 1 4  A  B   2 1 2   0 2 1   1 1 7   3 1 1 A B    A B      2 3 3   2 1 1 2. Phép nhân một số với một ma trận.Cho ma trận A   aij  cỡ mn và một số k m n kA   kaij  m nVí dụ. 1 0 3  2 1 4 A  B  2 1 2 0 2 1  2 0 6  6 3 12  2A    3B    4 2 4 0 6 3   8 3 6  2 A  3B      4  4 1 Tìm ma trận X sao cho 4X +3B =2A  2 3 3  1  4 2 4X = 2A-3B  X  (2 A  3B )    4  1 1 1  4  3. Phép nhân hai ma trận.Cho A   aij  mn cỡ mn Số cột A = số hàng B và B  bij  n p cỡ np. =nTích của A với B là ma trận AB  C  cij  m p trong đó các phần Tử cij đưược xác định như sau:cij  a i 1 b1 j  a i 2 b 2 j    a in b n jXét các ví dụ đặc biệt: 1  2 1 3  0 ...