Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.4 - TS. Nguyễn Hải Sơn

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.4 Hạng ma trận cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa hạng ma trận; Tính hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp; bài tập áp dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.4 - TS. Nguyễn Hải SơnBÀI 4 1  §4: Hạng ma trận 4.1. Định nghĩa. - Cho A là một ma trận cỡ mxn và một số k ≤ min{m,n}. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được từ ma trận A bằng cách bỏ đi (m-k) hàng và (n-k) cột. Định thức của ma trận con cấp k của A gọi là định thức con cấp k của A.Ví dụ: 1 2 3 4  12 A   A 2 4 6 8  12   24 2 4   3 5 7 9  A 12    4 8   2 3 4 234 4 6 8 A123   2  5 7 9  §4: Hạng ma trận-Đ/n: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của cácđịnh thức con khác 0 có trong A.Kí hiệu: rank(A) hoặc r(A) 3 §4: Hạng ma trận 0 0 0 0 A12   0  O  0 0 0 0  0 0 24 A  13   0 0 0 0  0 0 4 §4: Hạng ma trận a b c d  A  x y z t  5  §4: Hạng ma trậnVí dụ: a b c  A có duy nhất 1 định  A  x y z  thức con cấp 3 và đó là định thức con có u v w cấp lớn nhất 6 §4: Hạng ma trận 7 §4: Hạng ma trận 8 §4: Hạng ma trận4.2. Tính hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấpa. Ma trận bậc thang (ma trận hình thang) là ma trận thỏa mãn hai tính chất: (i) Các hàng khác không nằm trên các hàng không (hàng có tất cả các phần tử là 0) (ii) Với 2 hàng khác không, phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên đứng trước phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới. Ví dụ 0 1 ... ... ... ... 0 0 0 2 ... ...  A  0 0 0 0  3 ...   0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0  9 §4: Hạng ma trậnb. Định lí: Nếu A là ma trận bậc thang thì hạng của Abằng số hàng khác không của nó. Ví dụ: 0 1 ... ... ... ... 0 0 0 2 ... ...  rank  0 0 0 0  3 ...  3   0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0  1 2 3 4 0 1 5 6 rank   4 0 0 1 2    0 0 0 1 10 §4: Hạng ma trậnChứng minh định lí:  a11 a12 ... a1r ... a1n   a11 a12 .. a1r  0 a ... a2 r ... a2 n  12..r  0 a22 .. a2 r   22 A12..r     .. .. ... .. ... ..   .. .. .. ..     A0 0 ... ar r a ... r n  0 0 .. arr  0 0 ... 0 ... 0  Các MT con cấp > r    ... ... ... ... ... ...  chứa ít nhất 1 hàng = 0 0 0 ... 0 ... 0   11 §4: Hạng ma trận “Sử dụng các phép biếnChú ý: đổi sơ cấp trên ma trận” A B (ma trận bậc thang)Vấn đề: ? r(A) = r(B) 12 §4: Hạng ma trậnChú ý:Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. 13 §4: Hạng ma trận “biến đổi sơ cấp A B (ma trận bậc thang) r(A) = r(B) 14 §4: Hạng ma trận 15 §4: Hạng ma trận Ví dụ: Tìm hạng ma trận: 1 3 2 0 1 4 0 3 3 4 0 1  A  0 0 5 8 9 1  r ( A)  3   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  16 §4: Hạng ma trận Ví dụ: Tìm hạng của ma trận: 1 1 20 2 1 1 3  A  4 5 2 1    1 7 3 2 ...