Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.5 - TS. Nguyễn Hải Sơn

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.5 Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính; Hệ Cramer; Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss; Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.5 - TS. Nguyễn Hải SơnBÀI 5 1 §5: Hệ phương trình tuyến tính5.1 Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệphương trình tuyến tính.5.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, nẩn số có dạng: a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1  a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2  (*) ... am1x1  am 2 x2  ...  amn xn  bmtrong đó aij là hệ số của pt thứ i của ẩn xj , bi là hệ số tự do củaphương trình thứ i, xj là các ẩn số (i=1,..,m, j=1,..,n). 2 §5: Hệ phương trình tuyến tính - Nếu bi = 0 với mọi i=1,2,…,m thì hệ được gọi là hệtuyến tính thuần nhất.Ví dụ 2 x1  3x2  5 x3  x4  2  x  2 x  3x  4 x  0 Hệ 4 phương trình 4 ẩn  1 2 3 4  3x1  8 x2  5 x3  3x4  2 Là hệ không thuần nhất   4 x2  2 x3  7 x4  9 3 §5: Hệ phương trình tuyến tính+ Ma trận A  [aij ]mn gọi là ma trận hệ số của phương trình (*).  b1  b + Ma trận b   2  gọi là ma trận hệ số tự do của phương trình (*).  ...     bm   x1  x + Ma trận x    gọi là ma trận ẩn số của phương trình (*). 2  ...     xn  4 §5: Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ: Cho hệ phương trình  2 x1  3 x2  5 x3  x4  2  x  2 x  3x  4 x  0  1 2 3 4   3 x1  8 x2  5 x3  3 x4   2   4 x2  2 x3  7 x4  9  2 3 5 1 2   x1   1 2 3 4 0  x   A  ,b   ,x   2 3 8 5 3   2   x3         0  4 2  7  9   x4  5 §5: Hệ phương trình tuyến tính  Ma trận bổ sung của hệ (*): A bs  A  A |b Ví dụ: Cho hệ phương trình 2x1  3x2  5x3  x4  2 2 3 5 1 2  x  2x  3x  4x  0    1 2 3 4 bs  1 2 3 4 0    A  A  [A|b]  3x1  8x2  5x3  3x4  2 3 8 5 3  2   4x2  2x3  7x4  9    0 4 2 7 9 Nhận xét: Các hệ số của phương trình thứ i là các phần tử ở hàng thứi của Abs và ngược lại. 6 §5: Hệ phương trình tuyến tínhVới các kí hiệu đó, hệ (*) được đưa về dạng Ax  b (**)gọi là dạng ma trận của hệ (*). Ví dụ: 2 x  7 y  z  9 2 7 1   x  9          3 x  y  4 z  0  3 1 4   y   0 5 x  9 y  2 z  5  5 9 2   z   5   7 §5: Hệ phương trình tuyến tính  5.2. Hệ Cramer Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến được gọi là hệ CramerVí dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 8 5.2 Hệ CrameĐịnh lý: Mọi hệ Cramer n pt đều có nghiệm duy nhất (x1, x2, …,xn) được xác định bởi công thức Dj xj  D 9 5.2 Hệ Crame 10 5.2 Hệ CrameVí dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 11 5.2 Hệ Crame 12 5.2 Hệ Crame 13 5.2 Hệ Crame 14 5.2 Hệ Crame Bài tập: Giải hệ phương trình sau: 1 1 2  x1  x2  2 x3  1  D1  5 1 3 = -19 2 x1  x2  3 x3  5 1 2 1 3x  2 x  x  1 1 1 2  1 2 3 D2  2 5 3 = -29 1 1 2 3 1 1 D 2 13 = -8 1 1 1 3 2 1 D3  ...