Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Ánh xạ tuyến tính

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Ánh xạ tuyến tính. Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: khái niệm ánh xạ tuyến tính; ma trận của ánh xạ tuyến tính; toán tử tuyến tính và ma trận vuông chéo hóa được; thuật toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Ánh xạ tuyến tínhĐại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 281Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 281Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính. 281Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính. Definition 1.1. Cho V và V 0 là hai không gian vectơ trên K. Ánh xạ f : V → V 0 gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu f thoả mãn hai tính chất sau: (L1 ) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ V (tính bảo toàn phép cộng); (L2 ) f (λx) = λf (x), ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng). 281Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính. Definition 1.1. Cho V và V 0 là hai không gian vectơ trên K. Ánh xạ f : V → V 0 gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu f thoả mãn hai tính chất sau: (L1 ) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ V (tính bảo toàn phép cộng); (L2 ) f (λx) = λf (x), ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng). 281Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó còn gọi là một phép biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V . 282Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó còn gọi là một phép biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V . Nhận xét: Cho f : V → V 0 là một ánh xạ, V và V 0 là hai K - không gian vectơ. Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy: 282Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó còn gọi là một phép biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V . Nhận xét: Cho f : V → V 0 là một ánh xạ, V và V 0 là hai K - không gian vectơ. Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy: (1) f là ánh xạ tuyến tính. ⇔ f (λx n+ µy)= λfn(x) + µf (y); ∀x, y ∈ V, λ, µ ∈ K P P ⇔f λ i xi = λi (xi ); ∀x1 , x2 , ..., xn ∈ V, λ1 , λ2 , ..., λn ∈ i=1 i=1 K. 282Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó còn gọi là một phép biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V . Nhận xét: Cho f : V → V 0 là một ánh xạ, V và V 0 là hai K - không gian vectơ. Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy: (1) f là ánh xạ tuyến tính. ⇔ f (λx n+ µy)= λfn(x) + µf (y); ∀x, y ∈ V, λ, µ ∈ K P P ⇔f λ i xi = λi (xi ); ∀x1 , x2 , ..., xn ∈ V, λ1 , λ2 , ..., λn ∈ i=1 i=1 K. (2) Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì: f (0V ) = 0V , f (−x) = −f (x); ∀x ∈ V. 282Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân sau đây: 282Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân sau đây: (1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V 0 , x 7→ O(x) = 0V 0 , rõ ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không. 282Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân sau đây: (1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V 0 , x 7→ O(x) = 0V 0 , rõ ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không. (2) Ánh xạ đồng nhất idV : V → V, x 7→ idv (x) = x, hiển nhiên là một toán tử trên V và gọi là toán tử đồng nhất (hay phép biến đổi đồng nhất) trên V . 282Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân sau đây: (1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V 0 , x 7→ O(x) = 0V 0 , rõ ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không. (2) Ánh xạ đồng nhất idV : V → V, x 7→ idv (x) = x, hiển nhiên là một toán tử trên V và gọi là toán tử đồng nhất (hay phép biến đổi đồng nhất) trên V . (3) Với mỗi λ ∈ K, ánh xạ V → V, x 7→ λx, cũn ...