Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và ví dụ; Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính; Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở; Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - ThS. Lê Nhật NguyênChương 3: Ánh xạ tuyến tính Nội dung ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I – Định nghĩa và ví dụ.II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tínhIII – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sởIV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng I. Định nghĩa và ví dụ--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ánh xạ Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x) f : X Y x  X , ! y  Y : y  f ( x)Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu y  Y , x  X : y  f ( x)Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh. I. Định nghĩa và ví dụ ------------------------------------------------------------------------Định nghĩa ánh xạ tuyến tínhCho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K.Ánh xạ tuyến tính f : V  W giữa hai không gian véctơ V, W là một ánh xạ thỏa 1. (v1 , v2 V ) f (v1  v2 )  f (v1 )  f (v2 ) 2. (  K , v  V ) f ( v )   f (v ) I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Chứng tỏ ánh xạ f : R3  R2 cho bởi x  ( x1 , x2 , x3 ); f ( x)  ( x1  2 x2  3 x3 , 2 x1  x3 ) là ánh xạ tuyến tính. x  ( x1, x2 , x3 ); y  ( y1, y2 , y3 )  R3f ( x  y )  f ( x1  y1, x2  y2 , x3  y3 )f ( x  y )  ( x1  y1  2 x2  2 y2  3 x3  3 y3 , 2 x1  2 y1  x3  y3 )f ( x  y )  ( x1  2 x2  3x3 , 2 x1  x3 )  ( y1  2 y2  3 y3 , 2 y1  y3 ) f ( x  y )  f ( x)  f ( y )Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyếntính. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho f : V  W là ánh xạ tuyến tính. Cho E ={e1, e2, …, en} là tập sinh của V. Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en). x  V  x  x1e1  x2e2    xn en f ( x)  f ( x1e1  x2e2    xn en ) f ( x)  f ( x1e1 )  f ( x2 e2 )    f ( xn en ) f ( x)  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )    xn f (en )Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết đượcảnh của một tập sinh của V. I. Định nghĩa và ví dụ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 2 , biết f (1,1,0)  (2, 1), f (1,1,1)  (1, 2), f (1, 0,1)  (1,1); 1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x)1. Giả sử (3,1,5)   (1,1, 0)   (1,1,1)   (1, 0,1)       3     1    2,   3,   2     5   f (3,1,5)  f ( (1,1,0)   (1,1,1)   (1,0,1))  f (3,1,5)   f (1,1,0)   f (1,1,1)   f (1,0,1) f (3,1,5)  2(2, 1)  3(1, 2)  2( 1,1)  (3,10) I. Định nghĩa và ví dụVí dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 2 , biết f (1,1,0)  (2, 1), f (1,1,1)  (1, 2), f (1, 0,1)  (1,1); 1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 2. Giả sử x  ( x1 , x2 , x3 )   (1,1,0)   (1,1,1)   (1,0,1)       x1   x1  x3       x2     x1  x2  x3     x3   x1  x2   f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )   f (1,1,0)   f (1,1,1)   f (1,0,1)f ( x)  ( x1  x3 )(2, 1)  ( x1  x2  x3 )(1, 2)  ( x1  x2 )(1,1) f ( x)  (2 x2  x3 , 2 x1  x2  3x3 ) I. Định nghĩa và ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụÁnh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? 1. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( 2 x1  3 x2 , x1 ) 2. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x1  2 x2 ,0) 3. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( 2 x1  x2 , x1  1) 4. f : R2  R2 ; f ( x1 , x2 )  (1, x1  x2 ) 2 5. f : R2  R2 ; f ( x , 1 2x )  ( x1  x x 2 1) , 6 f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x2 , x1 ) II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính. f : V  W Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0. Kerf  x V | f ( x)  0 V W Kerf 0 II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------- ...