Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh (2020)

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian Euclide, cung cấp cho người học những kiến thức như tích vô hướng và các khái niệm; tìm cơ sở và số chiều của không gian bù vuông góc. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - TS. Đặng Văn Vinh (2020) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chương 3: Không gian Euclide TS. Đặng Văn Vinh Bộ môn Toán Ứng Dụng Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Tp.HCM Tài liệu: Đặng Văn Vinh. Đại số tuyến tính. NXB ĐHQG tp HCM, 2019 Ngày 11 tháng 3 năm 2020TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 1/9Vấn đề 1. Tích vô hướng và các khái niệm.Vấn đề 2. Tìm cơ sở và số chiều của không gian bù vuông góc. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 2/9Tích vô hướngĐịnh nghĩaCho V là một không gian véctơ thực. Tích vô hướng của hai véctơ x và y làmột số thực và được ký hiệu (x, y) thỏa 4 tính chất sau:1/ Tính xác định dương: ∀x ∈ V, (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ⇔ x = 0;2/ Tính giao hoán: ∀x, y ∈ V, (x, y) = (y, x);3/ Tính tuyến tính: ∀x ∈ V, α ∈ R, (αx, y) = α(x, y);4/ Tính tuyến tính: ∀x, y, z ∈ V, (x + y, z) = (x, z) + (y, z).1/ Độ dài véctơ x ∈ V là đại lượng: ||x|| = (x, x)2/ Mỗi véctơ trong không gian n chiều coi là một điểm. Khoảng cáchgiữa hai véctơ x và y là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi x và ylà đại lượng: d(x, y) = ||x − y|| = (x − y, x − y) (x, y)3/ Góc α giữa hai véctơ x và y thỏa: cos α = ||x|| · ||y|| TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 3/9Tích vô hướngĐịnh nghĩaCho V là một không gian véctơ thực. Tích vô hướng của hai véctơ x và y làmột số thực và được ký hiệu (x, y) thỏa 4 tính chất sau:1/ Tính xác định dương: ∀x ∈ V, (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ⇔ x = 0;2/ Tính giao hoán: ∀x, y ∈ V, (x, y) = (y, x);3/ Tính tuyến tính: ∀x ∈ V, α ∈ R, (αx, y) = α(x, y);4/ Tính tuyến tính: ∀x, y, z ∈ V, (x + y, z) = (x, z) + (y, z).1/ Độ dài véctơ x ∈ V là đại lượng: ||x|| = (x, x)2/ Mỗi véctơ trong không gian n chiều coi là một điểm. Khoảng cáchgiữa hai véctơ x và y là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi x và ylà đại lượng: d(x, y) = ||x − y|| = (x − y, x − y) (x, y)3/ Góc α giữa hai véctơ x và y thỏa: cos α = ||x|| · ||y|| TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 3/9Tích vô hướngĐịnh nghĩaCho V là một không gian véctơ thực. Tích vô hướng của hai véctơ x và y làmột số thực và được ký hiệu (x, y) thỏa 4 tính chất sau:1/ Tính xác định dương: ∀x ∈ V, (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ⇔ x = 0;2/ Tính giao hoán: ∀x, y ∈ V, (x, y) = (y, x);3/ Tính tuyến tính: ∀x ∈ V, α ∈ R, (αx, y) = α(x, y);4/ Tính tuyến tính: ∀x, y, z ∈ V, (x + y, z) = (x, z) + (y, z).1/ Độ dài véctơ x ∈ V là đại lượng: ||x|| = (x, x)2/ Mỗi véctơ trong không gian n chiều coi là một điểm. Khoảng cáchgiữa hai véctơ x và y là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi x và ylà đại lượng: d(x, y) = ||x − y|| = (x − y, x − y) (x, y)3/ Góc α giữa hai véctơ x và y thỏa: cos α = ||x|| · ||y|| TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 3/9Tích vô hướngĐịnh nghĩaCho V là một không gian véctơ thực. Tích vô hướng của hai véctơ x và y làmột số thực và được ký hiệu (x, y) thỏa 4 tính chất sau:1/ Tính xác định dương: ∀x ∈ V, (x, x) ≥ 0 và (x, x) = 0 ⇔ x = 0;2/ Tính giao hoán: ∀x, y ∈ V, (x, y) = (y, x);3/ Tính tuyến tính: ∀x ∈ V, α ∈ R, (αx, y) = α(x, y);4/ Tính tuyến tính: ∀x, y, z ∈ V, (x + y, z) = (x, z) + (y, z).1/ Độ dài véctơ x ∈ V là đại lượng: ||x|| = (x, x)2/ Mỗi véctơ trong không gian n chiều coi là một điểm. Khoảng cáchgiữa hai véctơ x và y là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi x và ylà đại lượng: d(x, y) = ||x − y|| = (x − y, x − y) (x, y)3/ Góc α giữa hai véctơ x và y thỏa: cos α = ||x|| · ||y|| TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 3 năm 2020 3/9Tích vô hướngVí dụTrong R2 cho tích vô hướng ∀x = (x1 ; x2 ), y = (y1 ; y2 ), với(x, y) = ((x1 ; x2 ), (y1 ; y2 )) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2 .Cho hai véctơ u = (3; 1), v = (2; −4). Tính:1/ (u, v); 2/ ||u||, ||v||;3/ góc α giữa u, v; 4/ Khoảng cách giữa u và v.1/ (u, v) = ((3; 1), (2; −4)) = 2.3.2 − 3.(−4) − 1.2 + 4.1.(−4) = 6.Ngoài ra ta có cách tính sau:(x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 4x2 y2= (2x1 − x2 )y1 + (−x1 + 4x2 )y2 y1 2 −1 y1= 2x1 − x2 −x1 + 4x2 = x1 x2 = x · M · yT ...