Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 (không gian Euclide) - Lê Xuân Đại

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 (không gian Euclide) có nội dung trình bày về định nghĩa không gian Euclide, không gian Unita, sự trực giao. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 (không gian Euclide) - Lê Xuân Đại KHÔNG GIAN EUCLIDE TS. Lê Xuân Đ i Trư ng Đ i h c Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa h c ng d ng, b môn Toán ng d ng TP. HCM — 2011.TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 1 / 56 Không gian Euclide Đ nh nghĩaCho R−kgv E . Khi đó E đư c g i là không gianEuclide (th c) n u < ·, · >: E × E → R (x, y ) −→< x, y > − g i là tích vô hư ng c a 2 véctơ. Tích vô hư ng < x, y > th a mãn 4 tiên đ 1 < x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E 2 < x + y , z >=< x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ E 3 < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R. 4 < x, x >> 0, x = 0 và < x, x >= 0 ⇔ x = 0TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 2 / 56 Không gian Euclide Ví dVí dR−kgv Rn là không gian Euclide n u đã cho tíchvô hư ng< ·, · >: Rn × Rn → R n (x, y ) −→< x, y >= xi yi i=1v i x = (x1, x2, . . . , xn ), y = (y1, y2, . . . , yn ). TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 3 / 56 Không gian Euclide Ví dVí dKhông gian véctơ C[a,b] các hàm s liên t c trênđo n [a, b] là không gian Euclide n u đã cho tíchvô hư ng< ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R b (f , g ) −→< f , g >= f (x)g (x)dx aTS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 4 / 56 Không gian Euclide Ví dCh ng minh. b b < f , g >= f (x)g (x)dx = g (x)f (x)dx = a a < g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b] b < f + g , h >= (f (x) + g (x))h(x)dx = a b b f (x)h(x)dx + g (x)h(x)dx = a a < f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b]TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 5 / 56 Không gian Euclide Ví d b < αf , g >= (αf (x))g (x)dx = a b α f (x)g (x)dx = α < f , g >, a ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R. b < f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) = 0 và a b < f , f >= (f (x))2dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0 aTS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 6 / 56 Không gian Euclide Ví dVí dTrong R2 cho quy t c∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2.Tìm m đ < x, y > là tích vô hư ng. < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 = y1x1 + y1x2 + y2x1 + my2x2 =< y , x >, ∀x, y ∈ R2TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 7 / 56 Không gian Euclide Ví d < x + y , z >= (x1 + y1)z1 + (x1 + y1)z2 + (x2 + y2)z1 + m(x2 + y2)z2 = (x1z1 + x1z2 + x2z1 + mx2z2) + (y1z1 + y1z2 + y2z1 + my2z2) = < x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ R2 < αx, y >= (αx1)y1 + (αx1)y2 + (αx2)y1 + m(αx2)y2 = α(x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2) = α < x, y >, ∀x, y ∈ R2, ∀α ∈ R. 2 2 < x, x >= x1 + x1x2 + x2x1 + mx2 = (x1 + x2)2 + (m − 1)x2 > 0, (x = 0) ⇒ m > 1. 2 < x, x >= 0 ⇔ (x1 + x2)2 + (m − 1)x2 = 0 ⇔ 2 x1 = x2 = 0 hay x = 0 thì m = 1. V y m > 1.TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 8 / 56 Không gian Euclide Ví dVí dTrong không gian P2(x) cho tích vô hư ng 1 < p, q >= p(x)q(x)dx, 0∀p(x) = a1x 2 + b1x + c1, q(x) = a2x 2 + b2x + c2.Tính tích vô hư ng c ap(x) = x 2 − 4x + 5, q(x) = x + 1TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 9 / 56 Không gian Euclide Ví dTích vô hư ng c a p(x) và q(x) là 1 < p, q >= p(x)q(x)dx = 0 1 19 = (x 2 − 4x + 5)(x + 1)dx = 0 4TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 10 / 56 Không gian Euclide Đ dài véctơ (chu n c a véctơ)Đ nh nghĩaCho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, tag i đ dài hay chu n c a véctơ x là √||x|| = < x, x >TS. Lê Xuân Đ i (BK TPHCM) ...