Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa; Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao; Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - ThS. Lê Nhật NguyênChương 5: Dạng Toàn Phương Dạng Toàn phương ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩaDạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : R n  RX  ( x1, x2 ,..., xn )  R n : f ( X )  X T  A  Xtrong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận củadạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)  x1   2 3  Ví dụ. Cho x  A   x2    3 4 Khi đó ta có dạng toàn phương trong R2 T  2 3  x1  2 2x Ax   x1 x2    x   2 x1  6 x x 1 2  4 x2  3 4  2  Dạng Toàn phương ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng f (x )  f ( x 1 , x 2 , x 3 )   A x12  B x 22  C x32  2 Dx 1x 2  2 Ex 1x 3  2Fx 2x 3 Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng A D E M  D B F   E F C  Khi đó f(x) có thể viết lại f (x )  f ( x 1 , x 2 , x 3 )   A D E  x1  ( x1 x2 x3 )  D B F  x2   x T  M  x     E F C  x    3  Dạng Toàn phương --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ.  x1  x   x 2   R 3 :   x   3 f ( x)  3x12  2 x22  4 x32  4 x1x2  6 x1x3  2 x2 x3 Viết ma trận của dạng toàn phương.Giải  3 2 3  A 2 2 1     3 1 4     3 2 3   x1   f ( x)  xT Ax   x1 x2 x3   2 2 1   x2      3 1 4  x    3  Dạng Toàn phương ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho dạng toàn phương f ( x)  xT Ax, với x  ( x1 x2 x3 )TVì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trậntrực giao P và ma trận chéo D: A  PDP TKhi đó: f (x )  x T PDP T x  (P T x )T D (P T x ) Đặt y  P T x  x  PyTa có f ( y )  y T Dy  1 0 0  y1   f ( y)  ( y1 y2 y3 )  0 2 0  y2     0 0 3  y    3   f ( y )  f ( y 1, y 2 , y 3 )  1 y 12  2 y 22  3 y 32 Dạng Toàn phương ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩaDạng toàn phương f ( y )  y T Dy được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương f (x )  x T A xDạng chính tắc là dạng toàn phương có các số hạng là các bìnhphương.Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương f (x )  x T A x trongcơ sở chính tắc.Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương f (x )  x T A xtrong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P.Khi làm việc với dạng toàn phương ta có thể làm việc với matrận A, cũng có thể làm việc với ma trận D. Tất nhiên ma trận Dcó cấu trúc đơn giản hơn. Dạng Toàn phương ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng toàn phương f (x )  x T A x luôn luôn có thể đưa về dạng chính tắc f ( y )  y T Dy bằng cách chéo hóa trực giaoma trận A của dạng toàn phương.Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạngtoàn phương về dạng chính tắc.Còn có nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về chính tắckhác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay là phép biến đổisơ cấp)Phép biến đổi trực giao phức tạp nhưng có ưu điểm là ta vẫn cònlàm việc với cơ sở trực chuẩn (cơ sở từ các cột của ma trận P) Dạng Toàn phương ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giaoBước 1. Viết ma trận A của dạng toàn phương (trong chính tắc) Bước 2. Chéo hóa A bởi ma trận t ...