Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - TS. Nguyễn Hải Sơn

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 Dạng song tuyến tính, tích vô hướng và không gian Euclide cung cấp cho người học các kiến thức: Dạng song tuyến tính trong không gian vectơ thực; Dạng toàn phương; Không gian Euclide; Phép biến đổi trực giao; Toán tử đối xứng;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - TS. Nguyễn Hải SơnCHƯƠNG V13/12/2020 TS. NGUYỄN HẢI SƠN 1 §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNHTRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa.Đ/n. Cho V là một R-kgvt, ánh xạ φ: VxV R gọi làmột dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãncác t/c sau: (i) ( x1  x2 ; y )  ( x1; y )  ( x2 ; y ) (ii) (x; y )  ( x; y ) (iii) ( x; y1  y2 )  ( x; y1 )  ( x; y2 ) (iv) ( x; y )  ( x; y ) với x, x1 , x2 , y, y1 , y2 V ,    §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  Chú ý: Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại.VD1. Ánh xạ φ: RxR⟶ R xác định bởi φ(x,y)=x.y làmột dạng song tuyến tính.VD2. Ánh xạ φ : R2x R2 ⟶ R xác định bởiφ(u,v)=x1.x2+y1 y2 là một dạng song tuyến tính. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNHChú ý. Ánh xạ tuyến tính f : V ⟶ R với V là mộtR-kgvt gọi là dạng tuyến tính trên V.VD3. Nếu V là kgvt và f, g là hai dạng tuyến tínhtrên V thì ánh xạ φ : VxV ⟶ R xác định bởiφ(u,v)=f(u)g(v) là một dạng song tuyến tính. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VD4. Ánh xạ φ : R2x R2 ⟶ R xác định bởi 1 3   y1  ( x, y )   x1 x2   y   2 4  2là một dạng song tuyến tính.Đ/n. Dạng song tuyến tính φ : Vx V ⟶ R gọi là đốixứng nếu φ(x;y)= φ(y;x) với mọi x,y thuộc V.VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1, VD2 là cácdạng song tuyến tính đối xứng. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính.a.Đ/n. Cho φ: VxV → R là dạng song tuyến tínhtrên V. Gọi B={e1, e2,…, en} là một cơ sở của V.Đặt φ(ei,ej)=aij với i,j=1,…,n. Khi đó, ma trậnA=[aij] gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B.VD. Cho dạng song tuyến tính φ : R2x R2 ⟶ R xđbởi φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 . Viết ma trận của đối với cơsở chính tắc của R2 và B={v1=(1;1),v2=(1;2)} §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNHb. Biểu thức tọa độ.Cho x=x1e1+x2e2+…+xnen và y=y1e1+y2e2+…+ynen.Khi đó. n n t ( x, y )   xi y j (ei , e j )   aij xi y j  [x] A[ y ]B B i , j 1 i , j 1 t ( x, y)  [x] A[ y]BB §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH c. Công thức đổi tọa độG/s B’={v1, v2,…, vn} là cơ sở khác của V và T làmtr chuyển cơ sở từ B sang B’.Gọi A’ là ma trận của φ đối với cơ sở B’.Ta có [x]B  T [x]B , [y]B  T [y]B t ( x, y )  [x]B A [y]B t tSuy ra ( x, y )  [x] A[y]B  T [x]B  A T [y]B  B t t  [x] (T AT )[y]B B §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  t t tDo đó [x] (T AT )[y] B  [x] A [y] B B B t  A  T ATĐL. Hạng của ma trận của dạng song tuyến tínhtrên kgvt V không phụ thuộc vào cơ sở được chọn.Đn. Hạng của dạng song tuyến tính trên kgvt Vlàhạng của ma trận của dạng song tuyến tính đó đốivới một cơ sở bất kì. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.1 Định nghĩaa. Đ/n. Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên R-kgvt V. Khi đó ω(x) = φ(x,x) gọi là dạng toànphương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho.- Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sởnào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứngsinh ra nó theo một cơ sở đó.Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đốixứng. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG b. Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm. Cho dạng toàn phương ω(x) =φ(x,x). + φ(x,x) gọi là xác định dương nếu ( x; x)  0, x   + φ(x,x) gọi là xác định âm nếu ( x; x)  0, x   - Nếu φ(x,x) không xác định dương, không xác định âm thì nó gọi là không xác định dấu. - Ma trận tương ứng của dạng toàn phương cũng được gọi là xác định dương, xác định âm và không xác định dấu. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG c. Dạng chính tắc của dạng toàn phương. Cho dạng toàn phương ω(x) = φ(x,x) của ma trận A đối với cơ sở B của V. n t Ta có ( x, x)   x B A x B   aij xi x j i , j 1 Trong trường hợp A là mtr chéo thì dạng toàn phương φ(x,x) gọi là có dạng chính tắc 2 2 2 ( x, x)  a x  a x  ...  a x 11 1 22 2 nn n §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2 2 2 ( x, x)  a x  a x  ...  a x 11 1 22 2 nn nNX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi aii  0, i φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi aii  0, i §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG→ Bài toán:“Đưa dạng toàn phương ...