Bài giảng Đại số tuyến tính: Phần 2 - TS. Bùi Xuân Diệu

(NB) Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Đại số tuyến tính: Phần 2 gồm có 2 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ánh xạ tuyến tính; Dạng toàn phương, không gian Euclide. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Phần 2 - TS. Bùi Xuân Diệu CHƯƠNG 4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH1.1 Khái niệmĐịnh nghĩa 4.1. Ánh xạ T : V → W từ không gian véctơ V tới không gian véctơ W đượcgọi là ánh xạ tuyến tính nếu (i) T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V (ii) T (ku) = kT (u), ∀k ∈ R, u ∈ VMột số tính chất ban đầu của ánh xạ tuyến tính:Định lý 4.2. Cho T : V → W là ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ V tới không gianvéctơ W . Khi đó a) T (0) = 0. b) T (−v) = − T (v), ∀v ∈ V . c) T (u − v) = T (u) − T (v), ∀u, v ∈ V .1.2 Bài tậpBài tập 4.1. Cho V là KGVT, V ∗ = Hom(V, R ) = { f : V → R, f là ánh  xạ tuyến tính}. 1 nếu i = jGiả sử V có cơ sở {e1 , e2 , ..., en }. Xét tập hợp { f 1 , f 2 , ..., f n } trong đó f i (e j ) = . 0 nếu i 6= jChứng minh { f 1 , f 2 , ..., f n } là cơ sở của V ∗ , được gọi là cơ sở đối ngẫu ứng với {e1 , e2 , ..., en }. 7374 Chương 4. Ánh xạ tuyến tínhChứng minh. Muốn chứng minh { f 1 , f 2 , ..., f n } là một cơ sở của V ∗ , ta sẽ chứng minh nó làmột hệ sinh của V ∗ và độc lập tuyến tính. 1. Chứng minh { f 1 , f 2 , ..., f n } là một hệ véctơ độc lập tuyến tính. Giả sử có ràng buộc tuyến tính λ1 f 1 + λ2 f 2 + . . . + λ n f n = 0 (1) Tác động hai vế lên véctơ e1 ta được λ 1 f 1 ( e1 ) + λ 2 f 2 ( e1 ) + . . . + λ n f n ( e1 ) = 0 (2) Theo định nghĩa thì f 1 (e1 ) = 1, f 2 (e1 ) = 0, . . . , f n (e1 ) = 0 nên từ (2) suy ra λ1 = 0. Tương tự như vậy, nếu tác động hai vế của (1) lên e2 ta được λ2 = 0, . . ., tác động hai vế của (1) lên en ta được λn = 0. Vậy λ1 = λ2 = . . . = λn = 0, hệ véctơ đã cho độc lập tuyến tính. 2. Chứng minh { f 1 , f 2 , ..., f n } là hệ sinh của V ∗ . Giả sử f ∈ V ∗ , khi đó f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en ) là các số thực xác định. Ta sẽ chứng minh f = f ( e1 ) f 1 + f ( e2 ) f 2 + . . . + f ( e n ) f n Thật vậy, với mỗi x ∈ V, x = λ1 e1 + λ2 e2 + . . . + λn en thì f ( x ) = λ 1 f ( e1 ) + λ 2 f ( e2 ) + . . . + λ n f ( e n ) Mặt khác [ f ( e1 ) f 1 + f ( e2 ) f 2 + . . . + f ( e n ) f n ] ( x ) = [ f ( e1 ) f 1 + f ( e2 ) f 2 + . . . + f ( e n ) f n ] ( λ 1 e1 + λ 2 e2 + . . . + λ n e n ) n = ∑ λ i f ( e j ) f j ( ei ) i,j=1 n = ∑ λ i f ( ei ) i = j =1 = f (x) 742. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 75 §2. HẠT NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định nghĩa 4.3. Cho T : V → W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ V tới không gian véctơ W . Khi đó Ker( T ) := { x | x ∈ V, T ( x ) = 0} được gọi là hạt nhân của T . Im( T ) := {y|y ∈ W, ∃ x ∈ V, T ( x ) = y} = { T ( x )| x ∈ V } được gọi là ảnh của T . 2.1 Các tính chất của hạt nhân và ảnh Định lý 4.4. Cho T : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó (i) Ker( T ) là một không gian véctơ con của V . (ii) Im( T ) là một không gian véctơ con của W . Bổ đề 4.5. Cho T : V → W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ V tới không gian véctơ W và B = {e1 , e2 , . . . , en } là một cơ sở của V . Khi đó Im( T ) = span{ f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )}. Nói cách khác, muốn tìm số chiều và một cơ sở của không gian ảnh Im( T ), ta đi tìm số chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi họ véctơ { f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )}, xem mục 4.4 và Định lý 3.16. 2.2 Hạng của ánh xạ tuyến tính - Định lý về số chiều Định nghĩa 4.6. Nếu T : V → W là một ánh xạ tuyến tính thì số chiều của không gian Im( T ) được gọi là hạng của T , kí hiệu là rank( T ): rank( T ) = dim Im( T ) Định lý 4.7 (Định lý về số chiều). Nếu T : V → W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc ...