Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu

Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu thông tin đến các bạn các nội dung: giới hạn của dãy số; hàm số hàm số một biến; phép tính vi phân hàm một biến số; tích phân xác định; lý thuyết chuỗi. Để nắm chi tiết nội dung kiến thức mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị KhiếuHọc viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông Cơ sở tp. Hồ Chí Minh Khoa Cơ bản 2 – Bộ môn toán ----------------------------------------------------------- Giải tích 1 • Giảng viên: Trần Thị Khiếu • Email: ttkhieu@gmail.com- Cách tính điểm+ Chuyên cần : 10% (điểm danh hằng ngày).+Bài tập : 10% (lên bảng làm bài tập 5 lần).+Kiểm Tra giữa kỳ: 10% (trắc nghiệm 20 câu).+Thi cuối kỳ: 70%Tài liệu học- Giáo trình giải tích 1, Học viện Công nghệ Bưuchính Viễn thông, TS. Vũ Gia Tê (chủ biên), ThS.Nguyễn Thị Dung, ThS. Đỗ Phi Nga.Mục lụcChương 1: Giới hạn của dãy số.Chương 2: Hàm số hàm một biến.Chương 3: Phép tính vi phân hàm một biến số.Chương 4: Tích phân xác định.Chương 5: Lý thuyết chuỗi.Chương 1: Giới hạn của dãy số.Số thựcCho ⊂ ℝ và ∈ ℝ. là một cận trên của trong ℝ nếu x  X , x  aGiá trị nhỏ nhất của tập các chặn trên (cận trên) của tập hợpX được gọi là chặn trên nhỏ nhất (cận trên đúng) của X và kýhiệu là supX, (supremum của X).Cho ⊂ ℝ và ∈ ℝ. là một cận dưới của trong ℝ nếu x  X , x  aGiá trị lớn nhất của tập các chặn dưới (cận dưới) của tậphợp X được gọi là chặn dưới lớn nhất (cận dưới đúng) của Xvà ký hiệu là infX, (infimum của X). Dãy số thực ------------------------------------------------------------Định nghĩa Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tậpsố thực R. u:N  R n  u ( n) Thường dùng ký hiệu:   un n 1 hay đơn giản un  un0 được gọi là số hạng thứ của dãy.CÁC CÁCH CHO DÃY SỐ 1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,… 2/ Dạng tường minh: {un} cho dạng biểu thức giải tích của biến n. 2 VD: un  n , un  1 / n 3/ Dạng quy nạp: Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước VD: u1  1, un 1  un2  un  1 un 1  un u1  1, u2  1, un 1  2Sự hội tụ, sự phân kỳ của dãy số Dãy số un  được gọi là hội tụ về ∈ ℝ nếu   0, n0  n  n0  un  a    n  Ký hiệu: lim un  a hay un  a n  Dãy un  được gọi là hội tụ nếu có số ∈ ℝ để nlim  un  a Ngược lại, dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ.Ta nói un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn)khi và chỉ khi: A  0, n0  N  n  n0  un  A  n  Ký hiệu: lim un   hay un    n Ta nói un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn)khi và chỉ khi: B  0, n0  N  n  n0  un  B  n  Ký hiệu: lim un   hay un    n Khi dãy có giới hạn là  hoặc  đều được gọi là phân kỳ. n Ví dụ: Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng lim 1 n  n  1   0 n 1 1 1       n  1 n 1 n 1  1Chọn số tự nhiên n0   1  n 1 1 Khi đó n  n0 :| un  1| 1    n 1 n  1 n0  1 n  lim  1 (theo định nghĩa) n  n  1Chú ý: Để chứng minh dãy un  hội tụ về thông thườngchỉ ra dãy  n  hội tụ về 0 và thỏa mãn điều kiện un  a   n , n  n0Dãy số bị chặn Ta nói dãy un  bị chặn trên bởi ∈ ℝ , nếu n  N , un  A Ta nói dãy un  bị chặn dưới bởi B ∈ ℝ , nếu n  N , un  A Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn.Định lý 1.1 (tính duy nhất của giới hạn)Nếu dãy un  hội tụ đến thì là duy nhất.  lim un  a a b n Chứng minh: Giả sử  và a  b . Đặt    nlim un  b 3  na :  n  na  un  a     Đặt n0  Max na , nb   nb :  n  nb  un  b    a  b  a  u n  un  b  un  a  un  b 2  a  b      2  | a  b | Mâu thuẫn. 3Tính chất đại số của dãy hội tụCho lim un  a, lim vn  b , ta có: n  n  1) lim un | a | 4) lim  un  vn   a  b n  n  2) lim  un   0  lim un  0 n  n   un  a 5) lim    n   vn  b 3) lim  un  vn   a  b nTính bị chặn• Nếu dãy un  hội tụ, thì un  bị chặn trong tập ℝ.• Nếu dãy un  tiến đến +∞ thì bị chặn dưới trong tập ℝ.• Nếu dãy un  tiến đến −∞ thì bị chặn trên trong tập ℝ.Chứng minh 1: Giả sử lim un  a  n0 :  n  n0 | un  a | 1 n   a  1  un  a  1   Đặt: M  Max u1 , u2 ,..., un0 ,1 | a |  un  MChú ý: Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội tụ n  Ví dụ.  (1)  n 1Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹpNguyên lý kẹp Cho 3 dãy un  ,vn  ,wn  thỏa mã ...