Bài giảng Giải tích 1: Phần 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài giảng "Giải tích 1: Phần 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo" cung cấp tới người học các nội dung kiến thức trọng tâm về: Đại cương về chuỗi số; Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì; Chuỗi hàm số; Chuỗi luỹ thừa; Chuỗi Fourier; Phương trình vi phân;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Phần 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUỖI Bài 1. Chuỗi số, chuỗi số dương......................................................................1 Bài 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì .........................................................12 Bài 3. Chuỗi hàm số .....................................................................................17 Bài 4. Chuỗi luỹ thừa ....................................................................................22 Bài 5. Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier ..............................................................31 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 6. Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp một .....................................38 Bài 7. Phương trình vi phân cấp một ............................................................49 Bài 8. Phương trình vi phân cấp hai khuyết ..................................................61 Bài 9. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi .................................68 Bài 10. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số ...............................72 Bài 11. Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân ...................................77 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE Bài 12. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược ................................83 Bài 13. Phép biến đổi của bài toán giá trị ban đầu ........................................90 Bài 14. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản ...............................................97 Bài 15. Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi ................................103 Tài liệu tham khảo ....................................................................................113 Đề thi giữa kỳ và cuối kỳ …………………………………… 114 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI § 1. Đại cương về chuỗi số  Định nghĩa  Điều kiện cần để chuỗi hội tụ  Các tính chất cơ bản 1 1 1 1 Đặt vấn đề: 1       n    2 2 4 8 2  Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải?  1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ? 1. Chuỗi số: Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực an, ta có dãy số kí hiệu là an  . Định nghĩa:  Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1  a2  a3   là chuỗi số, ký hiệu là  an , n 1 an là số hạng tổng quát. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là tổng riêng thứ n. Nếu lim Sn  S thì ta bảo chuỗi n   hội tụ, có tổng S và viết:  an  S . n 1  Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta bảo chuỗi  an phân kỳ. n 1  Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính  qn n 0 n 1 1 q Sn  1  q  q 2    q n  , q 1 1 q 1 lim Sn  , q 1 n  1 q Phân kỳ khi q  1  1  qn  1 q , q  1. n 0  1 Ví dụ 2. Xét sự hội tụ và tính  n  n  1 n 1 1 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1  1 1 1 1  1 Sn                 1  1.2 2.3 n  n  1  1 2   2 3   n n  1 n 1  1  lim Sn  lim  1  1 n  n   n  1   1  n  n  1  1 n 1  1 1 1 1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ  n (Chuỗi điều hoà) Sn  1  2  3    n n 1 Lấy n  2m 1 có 1 1 1  1  1 1  1 1  1 1  Sn  1      m 1   1                 m    m 1  2 3 2  2 3 4 5 8  2 1 2  1 1 1 1 1   2.  4.    2m. m 1   m  1 2 4 8 2 2 Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn   n  Chuỗi đã cho phân kỳ  1 Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương:  n2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn  1     1    1   22 32 n2 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3  n  1 n 1 1  1 1  1 1   1 1 1  1                   2  2 1 2   2 3   3 4  ...