Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm, vi phân, định lý giá trị trung bình, công thức Taylor, công thức Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - TS. Đặng Văn VinhTrường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 2: Đạo hàm và vi phân • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Đạo hàm 2 – Vi phân. 3 – Định lý giá trị trung bình 4 – Công thức Taylor, Maclaurint I. Đạo hàmĐịnh nghĩa (đạo hàm) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 . f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x  0 x f ( x0 ) được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0 .Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm f ( x)  cos x tại điểm x0 f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x  0 x cos( x0  x)  cos x0  lim x  0 x  x  x sin  x0    sin  2  2   lim x  0 x 2   sin( x0 )Ví dụ  2 1  x sin   , x  0 Tìm f (0) , biết f ( x)    x  0, x0  f (0  x)  f (0) f (0)  lim x  0 x 2  x  sin 1/ x   0  lim x  0 x   1   0 (bị chặn x vô cùng bé)  lim  x  sin    x  0   x  Định nghĩa (đạo hàm phải) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 . f ( x0  x)  f ( x0 ) f  ( x0 )  lim x  0 x f  ( x0 ) được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 .Định nghĩa (đạo hàm trái) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 . f ( x0  x)  f ( x0 ) f  ( x0 )  lim x  0 x f  ( x0 ) được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x0 .Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 , khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng nhau.Định nghĩa (đạo hàm vô cùng) f ( x0  x)  f ( x0 ) Nếu lim   , thì ta nói hàm x  0 x có đạo hàm vô cùng tại điểm x0 .Ví dụ e1/ x , x  0 Tìm f  (0); f  (0) , biết f ( x)    0, x  0 1/ x f (0  x )  f (0) e 0 f  (0)  lim  lim   x  0 x x  0 x f (0  x)  f (0) 1/ x f  (0)  lim e 0  lim 0 x  0 x x  0 x Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.Ví dụ Tìm f ( x) , biết f ( x)  x 2  3 | x | 2  x 2  3x  2, x  0  2 x  3, x  0 f ( x)   2  f ( x)    x  3 x  2, x  0  2 x  3, x  0 Tại điểm x = 0: f (0)  3; f (0)  3   Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.Ví dụ Tìm f  (0); f  (0) , biết f ( x)  sin 2 x f (0  x)  f (0) sin 2x f (0)  lim   lim 2 x  0 x x  0 x f (0  x)  f (0) sin 2x f (0)  lim   lim  2 x  0 x x  0 x Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.Ví dụ  sin x  , x  0 Tìm f ( x), biết f ( x)   x ...