Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (tt)

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng đạo hàm" cung cấp cho người học các kiến thức: Taylor Maclaurint, quy tắc Lôpital, khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (tt)Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Taylor Maclaurint. 2 – Qui tắc Lôpital. 3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. II. Qui tắc LôpitalĐịnh lý 1 Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Xác định trong lân cận của điểm x0 và f ( x0 )  g ( x0 ) . 2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn f ( x0 ), g ( x0 )  0. f ( x) f ( x) Khi đó: lim  lim x  x0 g ( x ) x  x0 g ( x ) f ( x)  f ( x0 ) f ( x) x  x0 f ( x) lim  lim  lim x  x0 g ( x ) x  x0 g ( x )  g ( x0 ) x  x0 g ( x ) x  x0 II. Qui tắc Lôpital 0Định lý 2 (Qui tắc Lôpital ) 0 Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:1) Khả vi trong khoảng (a,b). 2) x  (a, b) : g ( x)  0. 3) Tồn tại lim f ( x)  lim g ( x)  0 x a x a f ( x) 4) Tồn tại lim hữu hạn hay vô hạn. x a g ( x ) f ( x) f ( x) f ( x) Khi đó tồn tại lim và lim  lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x ) II. Qui tắc LôpitalChứng minh II. Qui tắc Lôpital Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )  Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:1) Khả vi trong khoảng (a,b). 2) x  (a, b) : g ( x)  0. 3) Tồn tại lim f ( x)  lim g ( x)   x a xa f ( x) 4) Tồn tại lim hữu hạn hay vô hạn. x a g ( x ) f ( x) f ( x) f ( x) Khi đó tồn tại lim và lim  lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x ) II. Qui tắc LôpitalChứng minh II. Qui tắc LôpitalDạng vô định: 0 f 0  f g  dạng  f 0 1/ g 0  g   f   f g  dạng 1/ g Các dạng vô định:   , 1 ,  , 0  0 0Các dạng vô định trên đều đưa về dạng vô định 0. III. khảo sát và vẽ đồ thị hàm sốSơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn. ) Tìm đạo hàm cấp 1: ( x) y) Tìm đạo hàm cấp hai y ( x)) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng.5) Lập bảng biến thiên.6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ.Ví dụ.Tìm cực trị của hàm y  f ( x) cho bởi p/trình tham số t3 t 3  2t 2 x 2 ,y 2 t 1 t 1 2 2 2 t (t  3) y (t ) (t  1)(t  t  4) x (t )  2 2  0  t  0   y ( x)   2 (t  1) x (t ) t (t  3) y ( x)  0  t  1 Tồn tại hai điểm tới hạn: 1 x  0 (t  0); x  (t  1) 2 y ( x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạcực đại tại x = 0. y ( x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạcực tiểu tại x = 1/2.Ví dụ.Tìm điểm uốn của hàm y  y( x) cho bởi p/trình tham số cos(2t ) x  1  cot(t ), y  ,0  t   sin t y (t )  x (t )  x (t )  y (t ) y ( x)  3  x (t )  3  y ( x)  0  t   t  4 4 3  y ( x) đổi dấu khi qua t   t  4 4 Vậy hàm có hai đ ...