Bài giảng Giải tích 2: Chuỗi lũy thừa - Tăng Lâm Tường Vinh

Bài giảng Giải tích 2: Chuỗi lũy thừa, cung cấp cho người học những kiến thức như Miền hội tụ; Bán kính hội tụ; Các bước khảo sát; Chuỗi lũy thừa; Chuỗi Taylor-Maclaurin; Phân tích một số hàm cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chuỗi lũy thừa - Tăng Lâm Tường Vinh Chuỗi lũy thừa Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tp. Hồ Chí Minh, 06/2020TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 1 / 26Nội dung1 Chuỗi lũy thừa2 Các ví dụ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 2 / 26Miền hội tụ các ví dụ mục bàiĐịnh nghĩa 1 +∞Chuỗi lũy thừa là chuỗi an (x − x0 )n . n=1Định nghĩa 2Tập hợp tất cả những giá trị x sao cho khi thay x vào chuỗi lũy thừa thì ta sẽ được mộtchuỗi số hội tụ, được gọi là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 3 / 26Bán kính hội tụ các ví dụ mục bàiĐịnh lý 1 +∞Cho chuỗi an (x − x0 )n , an ∈ R. Khi đó có ba khả năng xảy ra n=1 chuỗi hội tụ với mọi x ∈ R, chuỗi hội tụ tại x = x0 , tồn tại duy nhất số R ∈ [0, +∞) được gọi là bán kính hội tụ thỏa chuỗi hội tụ ∀x, |x − x0 | < R chuỗi phân kỳ ∀x, |x − x0 | > R.Chú ý: Trong trường hợp chuỗi hội tụ ∀x ∈ R, ta đặt bán kính hội tụ là R = +∞. Trong trường hợp chuỗi chỉ hội tụ tại x = x0 , ta đặt bán kính hội tụ là R = 0. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 4 / 26Các bước khảo sát các ví dụ mục bài Bước 1: Tìm bán kính hội tụ 1 an R = lim hay R = lim n→∞ n |an | n→∞ an+1 x − x0 = R Bước 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số tại những điểm biên . x − x0 = −RỞ bước 2, chúng ta chỉ sử dụng tiêu chuẩn so sánh, điền kiện cần, chuỗi đan dấu, hộitụ tuyệt đối. Tiêu chuẩn D’Alembert và Cauchy không sử dụng được và C, D = 1. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 5 / 26Chuỗi lũy thừa xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 1 +∞ (−1)n xn Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi . n=1 2n + 1 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 6 / 26Giải Ví dụ 1 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 1 (−1)n an 2n + 3 Ta có an = ⇒ R = lim = lim = 1. Khoảng hội tụ (−1, 1). 2n + 1 n→∞ an+1 n→∞ 2n + 1  n 1 +∞ (−1) lim =0   Tại x = 1 ta có hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz vì n→∞ 2n + 1 n=1 2n + 1 và là dãy giảm.  +∞ 1 1 1 +∞ 1 n→∞ Tại x = −1 ta có phân kỳ vì ∼ và chuỗi phân kỳ n=1 2n + 1 2n + 1 2n n=1 2n (vì α = 1). Vậy bán kính hội tụ là R = 1 và miền hội tụ là D = (−1, 1]. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 7 / 26Chuỗi lũy thừa xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 2 +∞ (x − 3)n Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi . n=1 n2 · 5n TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Chuỗi lũy thừa 8 / 26Giải Ví dụ 2 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 2 1 1 √ n Ta có an = ⇒ R = lim = lim n2 · 5n = 5. n2 · 5n n→∞ n |an | n→∞ Khoảng hội tụ (3 − 5; 3 + 5) = (−2; 8). ...