Bài giảng Giải tích 2: Chương 1.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích 2: Chương 1.2 trình bày các nội dung tiếp theo của chương 1 về khả vi và vi phân; đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp; công thức taylor - maclaurint; cực trị hàm nhiều biến.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 1.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh §3 : Khả vi và Vi phânVi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1d 2f = d (df ) = d (fxﾢ + fyﾢdy ) = d (fxﾢ ) + d (fyﾢ ) dx dx dy= (d (fxﾢ)dx + fxﾢ (dx )) + (d (fyﾢ)dy + fyﾢd (dy )) d ﾢﾢdx 2 + 2fxy dxdy + fyy dy 2= fxx ﾢﾢ ﾢﾢHay ta viết dưới dạng ﾢ 2f ﾢ 2f ﾢ 2fd 2f = 2 dx 2 + 2 dxdy + 2 dy 2 ﾢx ﾢ xﾢ y ﾢyVậy ta viết dưới dạng quy ước sau 2 � ﾢ ﾢ � � ﾢ ﾢ � df = ﾢ dx + dy ﾢ f ﾢ 2 d f = ﾢ dx + ﾢﾢ x dy ﾢ f ﾢ ﾢﾢ x ﾢ � ﾢ ﾢ � ﾢy � ﾢ ﾢy � §3 : Khả vi và Vi phânTổng quát công thức trên cho hàm 3 biến và cho viphân cấp 3 của hàm 2 biến Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y) 3 � ﾢ ﾢ � 3 d f = ﾢ dx + ﾢﾢ x dy ﾢ f ﾢ ﾢ � ﾢy � ﾢ ﾢﾢﾢdx 3 + 3fxxy dx 2dy + 3fxyy dxdy 2 + fyyy dy 3 = fxxx ﾢﾢﾢ ﾢﾢﾢ ﾢﾢﾢ Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z) 2 � ﾢ ﾢ ﾢ �d f ( x, y , z ) = ﾢ dx + dy + dzﾢ f 2 ﾢﾢ x ﾢ ﾢ � ﾢy ﾢ ﾢz �= fxx dx 2 + fyy dy 2 + fzzdz 2 + 2fxy dxdy + 2fyzdydz + 2fzxdzdx ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y) = xsiny – 2ycosx. Tính df, d2f tại (0,π/2) Giải : Ta đi tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, thay vào công thức tính vi phân fxﾢ = sin y + 2y sin x, fyﾢ = x cos y - 2cos x fxx = 2y cos x, fxy = cos y + 2sin x, fyy = - x sin y ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ Vậy ta được: df (0, p ) = fxﾢ(0, p )dx + fyﾢ(0, p )dy = dx - 2dy 2 2 2 2d f (0, p ) = f ﾢﾢ(0, p )dx 2 + 2f ﾢﾢ(0, p )dxdy + f ﾢﾢ(0, p )dx 2 2 xx 2 xy 2 yy 2 Vậy : df 0, p ( )= dx - 2dy ,và d 2f (0, p ) = pdx 2 2 2 §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y,z) = xy2 – 2yz2 + ex+y+z. Tính df, d2f Giải Tương tự ví dụ trên, ta códf = fxﾢ + fyﾢdy + fzﾢ dx dzdf = (y2+ex+y+z)dx+(2xy–2z2+ex+y+z)dy+(-4yz + ex+y+z)dzd 2f = fxx dx 2 + fyy dy 2 + fzzdz 2 + 2fxy dxdy + 2fyzdydz + 2fzxdzdx ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ d2f=ex+y+zdx2+(2x+ex+y+z)dy2+ (-4y+ex+y+z) dz2 + 2(2y+ex+y+z)dxdy+2(-4z+ex+y+z)dydz + 2(ex+y+z)dzdx §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợpĐịnh lý : Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; x, y là các hàm theo biến t: x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t1,t2), khi ấy hàm hợp z = z(x(t),y(t)) cũng khả vi trong khoảng (t1,t2) và dz ﾢ z dx ﾢ z dy = + dt ﾢ x dt ﾢ y dt dzVí dụ : Cho hàm z = x -3xy, x = 2t+1, y= t -3. Tính 2 2 dtGiải: dz = ﾢ z dx + ﾢ z dy =(2x – 3y)2 + (-3x)2t dt ﾢ x dt ﾢ y dt§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợpTổng quát hơn:Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàmhợp của 2 biến u, v. Ta có công thức tương tự: ﾢz ﾢzﾢx ﾢzﾢy = + ﾢu ﾢxﾢu ﾢyﾢu ﾢz ﾢzﾢx ﾢzﾢy = + ﾢv ﾢxﾢv ﾢyﾢv ﾢz z ﾢz ﾢx ﾢyTa có thể tổng quátbằng sơ đồ sau : ﾢx x ﾢx y ﾢyCần tính đạo hàm của z ﾢu ﾢv ﾢy ﾢvtheo biến nào ta đi theo ﾢuđường đến biến đó u v u v§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ : Cho hàm z = xey, trong đó x=cosu+sinv, y=u2+v2. Tính ﾢ z , ﾢ z ﾢu ﾢvGiải: Ta sử dụng công thức trên để tínhﾢz ﾢz ﾢx ﾢz ﾢy y y = . + . = e (- sin u ) + xe .2uﾢu ﾢx ﾢu ﾢy ﾢuﾢz ﾢz ﾢx ﾢz ﾢy y y = . + . = e (cos v ) + xe .2vﾢv ﾢx ﾢv ﾢy ﾢvChú ý: Có thể tính đạo hàm trên bằng cách thay x, ytheo u, v vào biểu thức của hàm z rồi tính đạo hàmthông thường. Tuy nhiên, việc sử dụng công thứcđạo hàm hàm hợp (nói chung) sẽ cho ta kết quảnhanh hơn §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = f(x+y,2x-3y). Tính các đhr đến cấp 2 của hàm z ...