Bài giảng Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân (Phần 1)

Phần 1 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục, đạo hàm riêng. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên ngành Toán học và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân (Phần 1) GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN• CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN• CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI• CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG• CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT• CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪACHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN• §1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục• §2: Đạo hàm riêng• §3: Khả vi và Vi phân• §4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp• §5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn• §6: Công thức Taylor – Maclaurint• §7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcĐịnh nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ f : D → R ( x, y ) a f ( x, y ) = zMiền xác định của hàm là tất cả các giá trị của (x,y)làm biểu thức của hàm có nghĩaMiền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thểnhận được §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ : Tìm MXĐ, MGT của hàm f ( x, y ) = 9 - x2 - y 2 MXĐ là hình tròn D = {( x, y ) Î R 2 : x 2 + y 2 £ 9} MGT là đoạn [0,3] MXĐ 3 f(x,y) 3 0 3 (x,y) MGT §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục x+ y+ 1Ví dụ: Cho hàm f ( x, y ) = x- 1 Tính f(2,1) và tìm MXĐ của fGiải :a. f(2,1) = 2b. MXĐ :Ta lấy nửa mặtphẳng phía trênđường thẳng x+y+1= 0 và bỏ đi toàn bộđường x = 1 §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcCho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D. Đồ thị của f làtập tất cả các điểm M(x, y, z)R3, với (x, y)D, z = f(x,y)  Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt S, khác với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong. §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcHình tròn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệuB(M0,r) là tập 2B(M0 , r ) = {M Î R : d (M, M0 ) < r }{( x, y ) Î R 2 2 2 : ( x - x0 ) + ( y - y 0 ) < r }Hình tròn mở này còn được gọi là một r - lân cậncủa điểm M §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcCho tập D và 1 điểm M thuộc R2. Ta định nghĩa 3loại điểm như sau :Điểm trong : M gọi là điểm trong của D nếu tồn tạiít nhất r>0 sao cho r- lân cận của M là B(M,r) nằmhoàn toàn trong D.Điểm biên : M gọi là điểm biên của D nếu với mọir>0, hình cầu mở B(M,r) chứa những điểm thuộc Dvà những điểm không thuộc D.Điểm tụ : Điểm M gọi là điểm tụ của D nếu vớimọi r>0, hình cầu mở B(M,r) đều chứa ít nhất 1điểm N thuộc D, khác M §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcĐịnh lý : Điểm M là điểm tụ của tập D khi và chỉ khitồn tại dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến về M, tức là khi n→∞thì d(Mn,M) →0• Chú ý :1. Như vậy điểm trong của D chắc chắn thuộc A, còn điểm biên của D thì có thể không thuộc D.2. Điểm biên chắc chắn là điểm tụ, nhưng điểm tụ thì có thể không là điểm biên §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcTập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biêncủa nó. Tập các điểm biên của D gọi là biên của DTập D được gọi là tập mở nếu R2D là tập đóng, khi đó,mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bấtkỳ điểm biên nàoTập D được gọi là tập bị chặn nếu nó được chứa trongmột hình cầu nào đó, tức là $ r : D Î B(O, r )Như vậy, có những tập chỉ chứa 1 phần biên màkhông chứa toàn bộ biên nên sẽ là tập không mở,không đóng. §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ : Cho D là phần hình cầu D = {( x, y , z ) Î R 3 : x 2 + y 2 + z 2 < 4}Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đóD không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểmthuộc D đều là điểm trong. Vậy D là tập mởVí dụ : Cho hình vành khănD = {( x, y ) Î R 2 : 1 £ x 2 + y 2 £ 4}Biên của D là 2 đường tròn x2 + y2=1 và x2+y2 = 4nằm hoàn toàn trong D nên D là tập đóng §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ : Trong R2 cho miền D D = {( x, y ) Î R 2 : x + y < 3, x ³ 0, y ³ 0} Biên của D là 3 đoạn OA, OB, AB. Miền D không chứa đoạn AB tức là D B B không chứa mọi điểm biên nên D không là tập đóng. O A Tuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểm biên thuộc đoạn OA, OB Tập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoại tiếp D chứa D (đường tròn tâm I là trung điểm AB, bán kính r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hình cầu mở §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến : Cho hàm f(x,y) có miền xác định là D và M0(x0,y0) là 1 điểm tụ của D. Số a được gọi là giới hạn của hàm f khi x→x0, y→y0 (hay M →M0) nếu e > 0, $ d > 0 : ( x, y ) ¹ ( x0 , y 0 ),( x, y ) Î D, ( x - x0 )2 - ( y - y 0 )2 < d Þ f ( x, y ) - a < e Khi ấy, ta vi ...