Bài giảng Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân (Phần 2)

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Khả vi và vi phân, đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn, công thức Taylor – Maclaurint, cực trị hàm nhiều biến (Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN - GTNN trong miền đóng). Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân (Phần 2) §3 : Khả vi và Vi phânVi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1d 2f = d (df ) = d (fx¢dx + fy¢dy )= d (fx¢dx ) + d (fy¢dy )= (d (fx¢)dx + fx¢d (dx )) + (d (fy¢)dy + fy¢d (dy )) 2 2 ¢ ¢ ¢¢= fxx dx + 2fxy dxdy + fyy dy¢ ¢Hay ta viết dưới dạng 2 2 2 2 ¶ f 2 ¶ f ¶ f 2d f= 2 dx + 2 dxdy + 2 dy ¶x ¶ x¶ y ¶yVậy ta viết dưới dạng quy ước sau 2 æ¶ ¶ ö æ¶ ¶ ö df = çç dx + dy ÷ ÷f 2 d f = çç dx + dy ÷ ÷ f çè¶ x ¶y ø ÷ çè¶ x ¶ y ø÷§3 : Khả vi và Vi phânTổng quát công thức trên cho hàm 3 biến và cho viphân cấp 3 của hàm 2 biến Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y) 3 æ¶ ¶ ö 3 d f = çç dx + dy ÷ ÷ f çè¶ x ¶ y ø÷ 3 2 2 3 ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ = fxxx dx + 3fxxy dx dy + 3fxyy dxdy + fyyy dy Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z) 2 æ¶ ¶ ¶ öd f (x, y,z) = çç dx + dy + dz÷ 2 ÷ f çè¶ x ¶y ¶ z ø÷= fxx¢¢dx2 + fyy¢¢dy 2 + fzz¢¢dz2 + 2fxy¢¢dxdy + 2fyz¢¢dydz + 2fzx¢¢dzdx §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y) = xsiny – 2ycosx. Tính df, d2f tại (0,π/2) Giải : Ta đi tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, thay vào công thức tính vi phân f x¢ = sin y + 2 y sin x , f y¢ = x co s y - 2 co s x fxx¢¢ = 2y cos x, fxy¢¢ = cos y + 2sin x, fyy¢¢ = - x sin y Vậy ta được: df (0, p ) = fx¢(0, p )dx + fy¢(0, p )dy = dx - 2dy 2 2 2 2 p ¢ ¢ p 2 ¢ ¢ p ¢ ¢ pd f (0, ) = fxx (0, )dx + 2fxy (0, )dxdy + fyy (0, )dx2 2 2 2 2 ( Vậy : df 0, p 2)= dx - 2dy ,và d 2f (0, p ) = p dx 2 2 §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y,z) = xy2 – 2yz2 + ex+y+z. Tính df, d2f Giải Tương tự ví dụ trên, ta códf = fx¢dx + fy¢dy + fz¢dzdf = (y2+ex+y+z)dx+(2xy–2z2+ex+y+z)dy+(-4yz + ex+y+z)dzd 2f = fxx¢¢dx 2 + fyy¢¢dy 2 + fzz¢¢dz2 + 2fxy¢¢dxdy + 2fyz¢¢dydz + 2fzx¢¢dzdx d2f=ex+y+zdx2+(2x+ex+y+z)dy2+ (-4y+ex+y+z) dz2 + 2(2y+ex+y+z)dxdy+2(-4z+ex+y+z)dydz + 2(ex+y+z)dzdx §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợpĐịnh lý : Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; x, y là các hàm theo biến t: x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t1,t2), khi ấy hàm hợp z = z(x(t),y(t)) cũng khả vi trong khoảng (t1,t2) và dz ¶ z dx ¶ z dy = + dt ¶ x dt ¶ y dt dzVí dụ : Cho hàm z = x2-3xy, x = 2t+1, y= t2-3. Tính dtGiải: dz = ¶ z dx + ¶ z dy =(2x – 3y)2 + (-3x)2t dt ¶ x dt ¶ y dt§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợpTổng quát hơn:Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàmhợp của 2 biến u, v. Ta có công thức tương tự: ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y = + ¶u ¶x ¶u ¶y ¶u ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y = + ¶v ¶x ¶v ¶y ¶v ¶z z ¶z ¶x ¶yTa có thể tổng quátbằng sơ đồ sau : ¶x x ¶x y ¶yCần tính đạo hàm của z ¶v ¶y ¶u ¶vtheo biến nào ta đi theo ¶uđường đến biến đó u v u v§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ : Cho hàm z = xey, trong đó x=cosu+sinv, y=u2+v2. Tính ¶ z , ¶ z ¶u ¶vGiải: Ta sử dụng công thức trên để tính¶z ¶z ¶x ¶z ¶y y y = . + . = e (- sin u ) + xe .2u¶u ¶x ¶u ¶y ¶u¶z ¶z ¶x ¶z ¶y y y = . + . = e (cos v ) + xe .2v¶v ¶x ¶v ¶y ¶vChú ý: Có thể tính đạo hàm trên bằng cách thay x, ytheo u, v vào biểu thức của hàm z rồi tính đạo hàmthông thường. Tuy nhiên, việc sử dụng công thứcđạo hàm hàm hợp (nói chun ...