Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - TS. Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Đạo hàm riêng, vi phân; Đạo hàm riêng, vi phân của hàm hợp; Đạo hàm riêng, vi phân của hàm ẩn; Đạo hàm theo hướng; Công thức Taylor, Maclaurint; Cực trị hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - TS. Nguyễn Văn Quang1. Đạo hàm riêng, vi phân2. Đạo hàm riêng, vi phân của hàm hợp3. Đạo hàm riêng, vi phân của hàm ẩn4. Đạo hàm theo hướng TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm5. Công thức Taylor, Maclaurint6. Cực trị hàm nhiều biếnĐịnh nghĩa đạo hàm riêng theo biến ? Cho hàm hai biến ? = ?(?, ?) với điểm ?0 (?0 , ?0 ) cố định. Xét hàm một biến ? ? = ?(?, ?0 ) theo biến ?. Đạo hàm của hàm một biến ?(?) tại ?0 được gọi là đạo hàm riêng theo biến ? của hàm ?(?, ?) tại ?0 (?0 , ?0 ), ký hiệu: f ( x0 , y0 ) F ( x0  x)  F ( x0 )  f x ( x0 , y0 )  lim x x 0 x f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )  lim x 0 x 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNĐịnh nghĩa đạo hàm riêng theo biến ? Cho hàm hai biến ? = ?(?, ?) với điểm ?0 (?0 , ?0 ) cố định. Xét hàm một biến ? ? = ?(?0 , ?) theo biến ?. Đạo hàm của hàm một biến ?(?) tại ?0 được gọi là đạo hàm riêng theo biến ? của hàm ?(?, ?) tại ?0 (?0 , ?0 ), ký hiệu: f ( x0 , y0 ) F ( y0  y )  F ( y0 )  f y ( x0 , y0 )  lim y y 0 y f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )  lim y 0 y 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNGhi nhớ Đạo hàm riêng của ? = ?(?, ?) tại ?0 (?0 , ?0 ) theo ? là đạo hàm của hàm một biến ? = ?(?, ?0 ). Đạo hàm riêng của ? = ?(?, ?) tại ?0 (?0 , ?0 ) theo ? là đạo hàm của hàm một biến ? = ?(?0 , ?). Qui tắc tìm đạo hàm riêng Để tìm đạo hàm riêng của ? theo biến ?, ta coi ? là hàm một biến ?, biến còn lại ? là hằng số. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN ?(?, ?) biễu diễn bởi mặt ? (màu xanh). Giả sử ? ?, ? = ?, nên điểm ?(?, ?, ?) ∈ ?. Cố định ? = ?. Đường cong ?1 là giao của ? và mặt phẳng ? = ?. Phương trình của đường cong ?1 là ? ? = ?(?, ?). Hệ số góc của tiếp tuyến ?1 với đường cong ?1 là: ?′ ? = ??′ (?, ?)Đạo hàm riêng theo ? của ?(?, ?) là hệ số góc của tiếp tuyến ?1 với đườngcong ?1 tại ?(?, ?, ?).Tương tự, đạo hàm riêng theo ? của ?(?, ?) là hệ số góc của tiếp tuyến ?2 vớiđường cong ?2 tại ?(?, ?, ?).30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNVí dụ Cho hàm ? ?, ? = 4 − ? 2 − 2? 2 . Tìm ??′ (1,1) và biễu diễn hình học của đạo hàm riêng này. ??′ ?, ? = −2? → ??′ 1,1 = −2 Mặt bậc hai ?(?, ?). Mặt phẳng ? = 1 cắt ngang được đường cong ?1 . Tiếp tuyến với ?1 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng. Hệ số góc của tiếp tuyến với ?1 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNVí dụ Biễu diễn hình học của ??′ (1,1): 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNTính chất của đạo hàm riêng Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm riêng cũng có tính chất của đạo hàm của hàm một biến. 1) ( f )x   f x 2) ( f  g )x  f x  g x 3)  f  g  x  f x  g  f  g x  f  gf x  fg x 4)    2  x g g Hàm một biến: hàm có đạo hàm cấp 1 tại ?0 thì hàm liên tục tại ?0 . Hàm nhiều biến: tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhưng chưa chắc hàm đã liên tục tại điểm này. 30-Ja ...