Chuỗi Fourier với các hàm tuần hoàn

Bài viết Chuỗi Fourier với các hàm tuần hoàn đề cập đến chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn. Nó được biểu diễn qua các hàm lượng giác sin và cos. Xuất phát từ các bổ đề, bài viết lần lượt đưa ra các định nghĩa về chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier chứng minh định lí Dirichlet về điều kiện đủ để một hàm số có thể khai triển thành chuỗi Fourier. Sau đó đưa ra một số ví dụ áp dụng trong phạm vi nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuỗi Fourier với các hàm tuần hoàn KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 57/2021 CHUỖI FOURIER VỚI CÁC HÀM TUẦN HOÀN Bùi Thị Hồng Vân* Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh *Email: hongvan2506@gmail.com Tel: 0989542254 Tóm tắt Từ khóa: Bài báo đề cập đến chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn. Nó được biểu diễn qua các Bị chặn; Chuỗi hàm; Đơn hàm lượng giác sin và cos. Xuất phát từ các bổ đề, bài viết lần lượt đưa ra các điệu; Hội tụ; Khả tích; Tuần định nghĩa về chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier chứng minh định lí Dirichlet về hoàn. điều kiện đủ để một hàm số có thể khai triển thành chuỗi Fourier. Sau đó đưa ra một số ví dụ áp dụng trong phạm vi nghiên cứu. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ   0, m  n Trong nhiều lĩnh vực của khoa học kĩ thuật ta  thường gặp các hiện tượng tuần hoàn, nghĩa là hiện  (1) cosmx cos nxdx    , m  n  0  2 , m  n  0 tượng lặp lại sau một thời gian T nào đó. Chúng  được mô tả bởi những hàm số tuần hoàn. Hàm f(x)   0, m  n  gọi là tuần hoàn với chu kì T nếu f(x+T) = f(x). Một trong những dạng hàm số tuần hoàn đơn giản nhất  (2) sin mx sin nxdx   , m  n  0   0, m  n  0  là những hàm số biểu thị dao động điều hòa:  yn  An .sin(n t  f n ), n  1,2,3,....(1)  (3) cosmx sin nxdx  0, m, n. Trong đó A n là biên độ điều hòa, n là tần số dao  2 Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh các công động chu kì T  ,  n là góc lệch pha ban đầu. thức này bằng cách sử dụng các công thức biến đổi n lượng giác. Giả sử cho một hàm g(t) tuần hoàn với chu kì 2.1.2. Bổ đề 2 (Bổ đề Riemann).[3] 2 Giả sử g là hàm khả tích trên đoạn [a, b]. Khi T . Ta xét xem có thể khai triển nó dưới dạng n đó, ta có: chuỗi các hàm điều hòa (1) ở trên không? Tức là b khai triển dạng:  p   (1) lim g(t)sin ptdt  0 A a g(t)  A 0  n sin(n t  n ) (2) b n 1 x p   (2) lim g(t)cosptdt  0 Từ (1), đặt x  t thì g(t)  g( )  f (x) a  2.2. Chuỗi lượng giác  Định nghĩa [5]: Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm f (x)  A 0  A n 1 n sin(nx  n ) số có dạng:  a0   A0  A n (sin nx cos n  cos nx sin n )   (a n cos nx  b n sin nx) (3) 2 n 1 n 1  trong đó a 0 ,a n ,bn (n  1,2,...) là các hằng số.  A0   (A n 1 n sin  n cos nx  A n cos  n sin nx) Số hạng tổng quát của chuỗi trên ...