Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi (Phần 2)

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi" cung cấp cho người học các kiến thức về "Chuỗi lũy thừa" bao gồm: Chuỗi lũy thừa - Miền hội tụ, bán kính hội tụ, chuỗi Taylor - Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi (Phần 2) §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụChuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ¥ n ¥ n å an ( x - x0 ) hay å an x a0, a1, a2, .. là hằng sốn= 0 n= 0Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặcun(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàmlũy thừa theo x hoặc (x-x0).Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng(2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạngtổng quát dạng (2) §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ¥ nMiền HT của chuỗi lũy thừa å an x là tập D nếu n= 1 ¥ n x = x0 Î D chuỗi số å a x n 0 HT n= 1 ¥ nVí dụ: Chuỗi å x n= 0Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x| §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ¥ 1 Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi å 2n n= 11 + x 1 un ( x ) = xác định với mọi x 2n 1+ xKhi |x|1: Cho n ® ¥ un = : = ç ÷ ç 2÷ 1+ x 2n 2 n (x ) è| x | ø÷ çChuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞) §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT ¥ nTổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa å an x HT tại x=x0, n= 1 ¥ ntức là chuỗi số å an x0 HT. Theo đkccsht ta được n= 1 n n a xlim n 0 = 0 Þ $ M > 0 : an x 0 < M, nn® ¥Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi: n n n æ ö n ç x ÷ æx ö æx ö nan x = an x 0 ç ÷ = a x n çç ÷ ÷ < M çç ÷ ÷ = vn, n çè x0 ø÷ n 0 ÷ çè x0 ø ÷ çè x0 ø ¥Nếu |x| §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTĐịnh lý Abel : ¥ nNếu chuỗi lũy thừa å an x HT tại x0 ¹ 0 thì nó HTTĐ tại n= 1mọi điểm x Î (- | x0 |,| x0 |) ¥ nHệ quả: Nếu chuỗi å an x PK tại x1 thì nó PK với mọi x n= 1 thỏa |x|>|x1|Bán kính hội tụ (BKHT): ¥Số R>0 sao cho chuỗi å an x n HT với mọi x: |x|R được gọi là BKHT của chuỗi §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTCách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa élim n | a | ên® ¥ n 1Đặt: r = êê | a | Thì BKHT là R = lim n+ 1 r ên® ¥ êë | an |Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừaSau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT củachuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTVí dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi n sau ¥ n ¥ x 1. å (nx ) 2. å n 2 n= 1 n= 1 2 .n1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=nn: r = lim n | an | = lim n = + ¥ Þ R = 0 n® ¥ n® ¥ BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 1 n 1 1 2. an = n 2 Þ lim | an | = lim n n 2 = Þ R= 2 2 .n n® ¥ n® ¥ 2 .n 2 ¥ 1 Khi x=2: å là chuỗi số dương HT 2 n= 1 n ¥ (- 1)n Khi x=-2: å 2 là chuỗi HTTĐ n= 1 n Vậy MHT [-2,2] §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTVí dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi: n n ¥ x ¥ æn + 1 ö 2n1. å n 2. å çç ÷ ÷ ( x - 1) n= 1 3 + 5 n ÷ n= 1è2n - 1ø n ¥ (n - 1)! x ¥ n!3. å 4. å n n n= 1 5n n= 1 n x1. Chuỗi lũy thừa với ...