Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 có nội dung trình bày về tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2 bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính và các ví dụ cụ thể áp dụng cho từng nội dung trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - Nguyễn Thị Xuân AnhCHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2Tích phân mặt loại 1Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia Sthành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên vàdiện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, .. , n . Trênmỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng n Sn = ￥ f (Mk )D Sk k =1 Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt S, kí hiệu là n � f ( x, y , z )ds = max(d D S � lim ￥ f (Mk )D Sk )￥ 0 k =1 S kTích phân mặt loại 1Tính chất :Diện tích mặt S được tính bởi S = � ds � S� (l f + m )ds = l � fds + m �� g � � gdsS S SNếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lênnhau là S1 và S2 thì� fds = � fds + � fds� � �S S1 S2 Tích phân mặt loại 1Cách tính:�� f ( x, y , z )ds = � f ( x, y , z( x, y )) 1 + z x2 + zy2dxdy � ￥ ￥S DxyTrong đó :Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0)Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y đểđược z=z(x,y) Biểu thức 1+ zx2 + zy2 dxdy = ds được gọi là vi ￥ ￥ phân của mặt S Tích phân mặt loại 1Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặt nónz2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+zHình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1 ￥ x ￥ zx = ￥ ￥ 2 2 ￥ ￥ x2 + y 2Pt mặt S (z dương) z = x + y → ￥ ￥ ￥ z￥ = y ￥ y ￥ 2 2 ￥ ￥ x +ySuy ra: ds = 2dxdy Vậy: I1 = � ( x + y + z )ds = � ( x + y + x 2 + y 2 ) 2dxdy � � S Dxy Tích phân mặt loại 1Đổi tp sang tọa độ cực: 2p 1I1 = � j �cos j + sin j + r ) rdr d ( 0 0 2pI1 = 3Tích phân mặt loại 1Ví dụ 2: Tính tích phân I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3ztrên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0,x+2y+3z=6C Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2 cũng được chia làm 4 tp Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta được Dyz: ΔOBC BO I21 = � fds = � (2y + 3z )dydz � � A ( x =0) D OBC Tích phân mặt loại 1C Tương tự, tp trên 2 mặt tọa độ còn lại I22 = � fds = � ( x + 3z )dxdz � � ( y =0) D OAC BO I23 = � fds = � ( x + 2y )dxdy � � ( z=0) D OAB ACuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Ta chiếuxuống mp z=0 thì Dxy: ΔOAB , vi phân mặt : 2 1z = 2 - y - x � ds = 1+ 4 + 1dxdy = 14 dxdy 3 3 9 9 3Tích phân mặt loại 1 14Do đó: I24 = � � fds = � 6. 3 dxdy � ( x +2 y +3 z=6) D OAB I2 = I21 + I22 + I23 + I24 Tích phân mặt loại 1Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z trênmặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầux2+y2+z2=2Chú ý: Ta không thể chiếu S xuống mp z=0 được vìcả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 chỉlà 1 đường tròn x2+y2=1Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Tasẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằng cáchkhử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y2≤1, z2 ≤ 1Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: x =￥ 1- y 2 Tích phân mặt loại 1Do pt cả 2 mặt đều chẵn đối với x nên mặt S nhậnx=0 là mặt đối xứng. Hơn nữa, hàm dưới dấu tp cũnglà hàm chẵn với x nên ta sẽ tính tp trên phần mặt Svới x>0 rồi nhân đôi. ￥ -y ￥ xy = ￥ ￥x = 1- y 2 ￥ ￥ ￥ 1- y 2 ￥ ￥ x￥ = 0 ￥ z ￥ 1� ds = dydz 1- y 2Vậy: 1 1 1 + 2zI3 = 2 � � dy ...