Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân mặt

Bài giảng "Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân mặt" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân mặt loại 1, tích phân mặt loại 2. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên ngành Toán học và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân mặtCHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2§1. Tích phân mặt loại 1Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia Sthành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên vàdiện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, .. , n . Trênmỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng n Sn f (Mk ) Sk k 1 Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt S, kí hiệu là n f ( x, y , z )ds lim f (Mk ) Sk max( d Sk ) 0 k 1 S§1. Tích phân mặt loại 1Tính chất :Diện tích mặt S được tính bởi S ds S ( f g )ds fds gdsS S SNếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lênnhau là S1 và S2 thì fds fds fdsS S1 S2§1. Tích phân mặt loại 1Cách tính:Tìm hình chiếu của S xuống 1 trong mặt phẳng Oxy(Dxy), Oyz (Dyz) hoặc Ozx (Dzx)Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y(z=z(x,y)); x theo y, z (x=x(y,z)) hoặc y theo x, z(y=y(x,z))Sau đó, tính ds: ds 1 zx 2 zy 2dxdy ds 1 xy 2 xz 2dydz ds 1 yz2 y x 2dzdx §1. Tích phân mặt loại 1 Cách tính:Tìm h/c của mặt S xuống mp Oxy, tính z=z(x,y) từ pt mặt I f x, y , z x, y 1 zx 2 zy 2dxdy DxyTìm h/c của mặt S xuống mp Oyz, tính x=(y,z) từ pt mặt 2 2 I f x y, z , y, z 1 xy xz dydz DyzTìm h/c của mặt S xuống mp Ozx, tính y=y(z,x) từ pt mặt I f x, y z, x , z 1 y x2 y z 2dzdx Dzx §1. Tích phân mặt loại 1Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặtnón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+zHình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1 x zx x2 y2Pt mặt S (z dương) z x2 y2 → y zy 2 2 x ySuy ra: ds 2dxdy Vậy:I1 (x y z )ds (x y x2 y 2 ) 2dxdy S Dxy §1. Tích phân mặt loại 1Đổi tp sang tọa độ cực: 2 1I1 d cos sin r rdr 0 0 2I1 3§1. Tích phân mặt loại 1Ví dụ 2: Tính tích phân I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3ztrên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0,x+2y+3z=6C Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2 cũng được chia làm 4 tp Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta được Dyz: ΔOBC BO I21 fds (2y 3z )dydz A ( x 0) OBC §1. Tích phân mặt loại 1C Tương tự, tp trên 2 mặt tọa độ còn lại I22 fds (x 3z )dxdz ( y 0) OAC BO I23 fds (x 2y )dxdy ( z 0) OAB ACuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Tachiếu xuống mp z=0 thì Dxy là ΔOAB : 2 1 4 1 14z 2 y x ds 1 dxdy dxdy 3 3 9 9 3§1. Tích phân mặt loại 1 14Do đó: I24 fds 6. dxdy ( x 2 y 3 z 6) OAB 3 I2 I21 I22 I23 I24 §1. Tích phân mặt loại 1Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z trênmặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầux2+y2+z2=2Chú ý: Ta không thể chiếu S xuống mp z=0 đượcvì cả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0chỉ là 1 đường tròn x2+y2=1Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau.Ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằngcách khử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y2≤1, z2 ≤ 1Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: x 1 y2 §1. Tích phân mặt loại 1Do pt cả 2 mặt đều chẵn đối với x nên mặt S nhậnx=0 là mặt đối xứng. Hơn nữa, hàm dưới dấu tpcũng là hàm chẵn với x nên ta sẽ tính tp trên phầnmặt S với x>0 rồi nhân đôi. y xyx 1 y2 1 y2 xz 0 1 ds ...