Giải tích II - Chương 3

trong chương này chúng ta sẽ xây dựng khái niệm và cách tính tích phân chohàm thực nhiều biến số. trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm "hình hộp" đãbiết đến ở chương trước.hình hộp trong r là khoảng đóng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích II - Chương 3MôC LôC3 TÝch ph©n béi 3 3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 gi¶i tÝch IIS¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùngvµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt 2Ch-¬ng 3TÝch ph©n béiTrong ch-¬ng nµy chóng ta sÏ x©y dùng kh¸i niÖm vµ c¸ch tÝnh tÝch ph©n chohµm thùc nhiÒu biÕn sè. Tr-íc hÕt chóng ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm h×nh hép ®·biÕt ®Õn ë ch-¬ng tr-íc. H×nh hép trong R lµ kho¶ng ®ãng [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}trong ®ã a, b ∈ R. Ng-êi ta th-êng nãi h×nh hép trong R lµ h×nh hép 1 chiÒu. H×nh hép trong Rn lµ tÝch §Ò c¸c cña n kho¶ng ®ãng trong R: H = [a1, b1 ] × [a2, b2] × · · · × [an, bn ]hay víi mäi i = 1, .., n. H = {x = (x1, x2, · · · , xn ) | ai ≤ xi ≤ bi },Ta gäi h×nh hép trong Rn lµ h×nh hép n chiÒu. ThÓ tÝch cña h×nh hép n chiÒu H = [a1, b1] × [a2, b2 ] × · · · × [an , bn ],kÝ hiÖu λ(H ) lµ tÝch cña c¸c ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng [ai, bi ]: λ(H ) = (b1 − a1 )(b2 − a2)...(bn − an ) §Æc biÖt khi H1 = [a, b] lµ h×nh hép 1 chiÒu, thÓ tÝch cña H1 lµ ®é dµi cña®o¹n [a, b]: λ(H1 ) = λ[a, b] = b − a. 3 Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi4NÕu H2 lµ h×nh hép 2 chiÒu H2 = [a1, b1 ] × [a2, b2], khi ®ã thÓ tÝch cña H2 λ(H2 ) = (b1 − a1)(b2 − a2)chÝnh lµ diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt H . Khi x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n hµm mét biÕn chóng ta ®· nãi tíi phÐpchia kho¶ng [a, b] thµnh n kho¶ng nhá bëi c¸c ®iÓm chia xi thuéc [a, b] a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.B©y giê, tæng qu¸t h¬n chóng ta sÏ ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm phÐp chia (theo kiÓul-íi) h×nh hép n chiÒu H nãi trªn thµnh c¸c h×nh hép n chiÒu nhá h¬n trong H . H×nh 3.1: PhÐp chia l-íi h×nh hép Gäi T1 lµ mét kho¶ng con nµo ®ã (T1 = [xi, xi+1 ]) trong phÐp chia [a1, b1]thµnh m1 kho¶ng nhá, T2 còng lµ mét kho¶ng con nµo ®ã (T2 = [yj , yj +1]) trongphÐp chia [a2, b2 ] thµnh m2 kho¶ng nhá... T-¬ng tù ®èi víi Tn . Khi ®ã h×nh hépn chiÒu H ®-îc chia thµnh N = m1 m2 · · · mnh×nh hép (n chiÒu) nhá h¬n vµ Hi = T1 × T2 × · · · × Tnlµ mét trong c¸c h×nh hép nhá ®ã. HiÓn nhiªn N H= Hi . i=13.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép 5 Trong ch-¬ng nµy khi nãi vÒ phÐp chia F mét h×nh hép nµo ®ã, chóng talu«n hiÓu lµ phÐp chia kiÓu l-íi nãi trªn. HiÓn nhiªn thÓ tÝch cña H b»ng tængc¸c thÓ tÝch cña tÊt c¶ c¸c h×nh hép nhá N λ( H ) = λ ( Hi ) . i=1Chó ý r»ng còng nh- trong hµm mét biÕn, ng-êi ta kÝ hiÖu d(F ) lµ ®-êng kÝnhcña phÐp chia F . §-êng kÝnh ®ã lµ ®-êng kÝnh lín nhÊt trong sè tÊt c¶ c¸c®-êng kÝnh cña h×nh hép nhá T1 × T2 × · · · × Tn cña phÐp chia F nãi trªn d(F ) = max{d(H1 ), d(H2 ), ..., d(HN )}.(§-êng kÝnh h×nh hép lµ kho¶ng c¸ch lín nhÊt gi÷a 2 ®iÓm cña h×nh hép ®ã).3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép§Þnh nghÜa 3.1.1 Cho h×nh hép n chiÒu H ⊂ Rn vµ hµm f :H →Rx¸c ®Þnh trªn H . Gäi F lµ mét phÐp chia l-íi bÊt k× h×nh hép H : N H= Hi , i=1chän ®iÓm ti ∈ Hi tïy ý thuéc Hi víi mäi i = 1, 2, ..., N . Khi ®ã kÝ hiÖu N f (ti )λ(Hi ) S (F ) = i=1lµ tæng tÝch ph©n cña hµm f t-¬ng øng víi phÐp chia F . NÕu tæng tÝch ph©n S (F )tån t¹i giíi h¹n L vµ giíi h¹n ®ã h÷u h¹n khi ®-êng kÝnh cña phÐp chia d(F ) tiÕntíi 0: N f (ti )λ(Hi ...