Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.1 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.1 trình bày tổng quan về chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ. Trong mỗi phần có trình bày định nghĩa, tính chất và cách tính các chuỗi số trên. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về chuỗi số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.1 - Nguyễn Thị Xuân AnhCHƯƠNG IV: CHUỖI§1. CHUỖI SỐ1. CHUỖI SỐ DƯƠNG2. CHUỖI ĐAN DẤU3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ§2. CHUỖI LŨY THỪA1. CHUỖI LŨY THỪA2. CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi sốĐịnh nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các ﾥsố hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) n=1un ﾥ là chuỗi sốTa gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) S = lim Sn < ﾥ nﾥ ﾥ Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ ﾥ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng ﾥ un = lim Sn = S n =1 nﾥ ﾥ §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi sốVí dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: 1 3 7 15 2n - 1 + + + + ... � un = n 2 4 8 16 22 22 23 24 2n + + + + ... � un = 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 n!Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi ﾥ n +2 ﾥ Tính u5? � u5 = 5 + 2 = 7n =1 4n - 1 4.5 - 1 19ﾥ (2n - 1)!!ﾥ Tính u6n =1 ( n + 1)! (2.6 - 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 � u6 = = = = (6 + 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48 §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ﾥ n Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân ﾥ q n =0Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi ﾥ n, q = 1 ﾥ Sn = 1+ q + q + ... + q = ﾥ 1- q n 2 n ﾥ ﾥ ﾥ 1- q , q ﾥ 1 ﾥ ﾥRõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ 1Khi |q|1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ ﾥVậy chuỗi cấp số nhân ﾥ q n hội tụ khi và chỉ khi |q| §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ﾥ � 1 1� Ví dụ: Tính tổng của chuỗi ﾥ ﾥ n - nﾥ ﾥ3 ﾥ ﾥ n =0 � 5 � Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có ﾥ 1 ﾥ 1n 1 3 � n = �( ) = = n =0 3 n =0 3 1- 1 2 3 ﾥ 1 ﾥ 1n -1 5�- n = �- ( ) = =-n =0 5 n =0 5 1- 1 4 5 ﾥ � 1 1� 3 5 1Vậy: ﾥ ﾥ n - n ﾥ = - = ﾥ3 ﾥ ﾥ n =0 � 5 � 2 4 4 §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ﾥ 1Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của ﾥ 2 n =1 4n - 1Tổng riêng: Sn = u1 + u2 + ... + un 1 1 1 1Ta có: un = 2 = ( - ) 4n - 1 2 2n - 1 2n + 1 � 1� � 1� � 1� 1 1 1 � 1 1 ��2Sn = �- � � - � � - � ... + � + � 3� � 5� � 7� �� ��+ � 5 �+ �n - 1- 2n + 1�� � � 3 1 � �2 � 12Sn = 1- 2n + 1Tổng của chuỗi: ﾥ 1 1 S=ﾥ 2 = lim Sn = n =1 4n - 1 nﾥ ﾥ 2 §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số 1ﾥ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ﾥ ln(1+ ) n =1 nTổng riêng: n 1 n Sn = �ln(1+ ) = �( ln(1+ k ) - ln k ) k =1 k k =1 Sn = (ln 2 - ln1) + (ln3 - ln 2) + ... + (ln( n + 1) - ln n ) Sn = ln(n + 1)Ta có: S = nlim Sn = nlim ln(n + 1) = ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ Vậy chuỗi đã cho phân kỳ§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ ﾥĐiều kiện cần của sự hội Chuỗi ﾥ un hội tụ thì un→0 n =1tụ : Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh ﾥ lim un ﾥ 0 1. ﾥ nﾥ ﾥ ﾥ ﾥ2.$ nlim un ﾥ ﾥ ﾥ Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht ﾥ n n ﾥ , vì lim un = lim = 1ﾥ 0 n =1 n + 1 nﾥ ﾥ nﾥ ﾥ n + 1 ﾥ (- 1)n + n (- 1)n + n ﾥ , vì lim = 1ﾥ 0 n =1 n nﾥ ﾥ n ﾥ n n ﾥ n , vì lim un = lim n = - 1ﾥ 0 n =1 (- 1) - n nﾥ ﾥ nﾥ ﾥ (- 1) - n§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụTính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thayđổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi.Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ ﾥ ﾥ �un và � un n =1 n= p ﾥ ﾥTính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ �un = Q và �v n = P n =1 n =1 ...