Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)

Bài giảng "Giải tích 2 - Chuỗi lỹ thừa" cung cấp cho người học cấc nội dung: Định nghĩa, định lý Abel, trường hợp chuỗi tổng quát, cách tìm bán kính hội tụ, tính chất của chuỗi lũy thừa,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)CHUỖI LŨY THỪA ĐỊNH NGHĨAChuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:  n  an ( x  x0 ) , an  R là giá trị cho trước n 1 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:    n D   x  R :  an ( x  x0 ) hoä i tuï  n 1   n a XNếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành  n , n 1nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗinày. Định lý Abel  n Neá u  n hoäituï taïi x 0  0 thì hoäituï a x n 1 tuyeä i trong   x0 , x0  t ñoáHệ quả:  nNeá u  n phaân kyøtaïi x 0 thì phaân kyø a x n 1taïi moïi x    x0 , x0  Chứng minh định lý  n nNeá u a  n x hoä i tuï taï i x 0  0 thì lim a x n 0 0 n 1 n  n M  0 : an x0  M , n n n n n x  xan x  an x0   M  x0  x0 xx    x0 , x0  : 1 x0  n  x  hoä i tuï  an x n hoä i tuï n 0 x0 n 0 Bán kính hội tụ  nSoáR >0 sao cho  n hoäituï trong  R , R  a x n 1vaøphaâ n kyøbeâ i  R , R  goïi laøbaù n ngoaø n kínhhoä i tuï cuû a chuoã i. R , R  goïi laøkhoaûn g hoäituï cuûa chuoãi. Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ cần xét thêm tại R Trường hợp chuỗi tổng quát  n  an ( x  x0 ) n 1  nSoáR >0 sao cho a  n ( x  x 0 ) hoä i tuï trong n 1 x0  R , x0  R  vaøphaân kyøbeân ngoaøi  R , R goïi laøbaù n kính hoä i tuï cuû a chuoã i. Khoảng hội tụ: ( x 0  R , x0  R ) Cách tìm bán kính hội tụ n an 1Tính:   lim an hoặc   lim n  n  an 0,     1  R   , 0       ,   0R  0 : MHT =0  hoaë i TQ  c  x0  cho chuoãR   : MHT =  ,   Lưu ý1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau: 1 an R  lim hay R  lim n  n an x  an 12. Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng. Ví dụ  n n (1) n (1)1 / Tìm mieà n hoä i tuï  x an  n 1 n n 1 n R  lim  lim n  1  Khoảng ht: (1,1) n  n an n   (1)n x  1 : chuoãi trôûthaø nh  , ht theo tc L. n 1 n 1 x  1: chuoã i trôûthaø n h  , phaâ n kyø n 1 n Vaäy mieà n hoä : D   1,1 i tuï laø  2 (n !) n2 / Tìm baù n kính hoä i tuï:  x n 1 (2n )! 2 (n !)an  (2n )! (n !) 2 an (2n )! R  lim  lim n  an 1 2 n  (n  1)! (2n  2)! (2n  1)(2n  2)  lim 2 ...