Bài giảng Giải tích B1: Chương 2 - Cao Nghi Thục

Bài giảng Giải tích B1: Chương 2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Tích phân bất định; Tích phân xác định; Tích phân suy rộng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích B1: Chương 2 - Cao Nghi Thục GIẢI  TÍCH  B1   GV:  CAO  NGHI  THỤC EMAIL:  cnthuc@hcmus.edu.vn Chương  2 Phép  tính  tích  phân  hàm  một  biến I. Tích phân bất định II. Tích phân xác định III. Tích phân suy rộng 1.  Tích  phân  bất  định Định  nghĩa   Cho  hàm  f(x)  liên  tục  trên  (a,b).  Hàm  F(x)  được  gọi  là   1  nguyên  hàm  của  f(x)  nếu                                    .  Khi  đó  F(x)+c   F ʹ′( x) = f ( x) được  gọi  là  họ  nguyên  hàm  của  f(x)  và  ký  hiệu   F ( x) + c = ∫ f ( x).dx Page  § 3 1.  Tích  phân  bất  định Các  tính  chất  của  TPBĐ   ∫ k. f ( x).dx = k ∫ f ( x) ∫ { f ( x) + g ( x)}.dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ∫ F ʹ′( x).dx = F ( x) ʹ′ ( ∫ f ( x)dx ) = f ( x) Page  § 4 1.  Tích  phân  bất  định Bảng  tích  phân  cơ  bản   xα +1 ∫ x dx α = +c α +1 1 ∫ x dx = ln x + c x x a x x ∫ a dx = + c , ∫ e dx = e +c ln a ∫ sin xdx = − cos x + c ∫ cos xdx = sin x + c Page  § 5 1.  Tích  phân  bất  định Bảng  tích  phân  cơ  bản   1 ∫ cos 2 x dx = tan x + c 1 ∫ sin 2 x dx = − cot x + c 1 ∫ 1 + x 2 dx = arc tan x + c 1 ∫ 1 − x 2 dx = arcsin x + c Page  § 6 1.  Tích  phân  bất  định Phương pháp tính tích phân PP  Đổi biến 3 VD1 Tính I = ∫ sin x.cos x.dx t = sin x ⇒ dt = cos x.dx 4 4 3 t sin x I = ∫ t .dt = + c = +c 4 4 Page  § 7 1.  Tích  phân  bất  định Phương pháp tính tích phân PP  Đổi biến 5 VD2 Tính I = ∫ sin xdx Page  § 8 1.  Tích  phân  bất  định Phương pháp tính tích phân PP  Tích phân từng phần ∫ udv = uv − ∫ vdu 2 VD  3 Tính ∫ ln xdx x Page  § 9 1.  Tích  phân  bất  định Phương pháp tính tích phân PP  Tích phân từng phần 2 x VD  4 Tính ∫ x e dx VD  5 Tính ∫ x sin xdx Page  § 10 2.  Tích  phân  xác  định Định  nghĩa Cho  hàm  số  f(x)  liên  tục  trên  [a,b].  F(x)  +c  là  họ   nguyên  hàm  của  f(x).  Khi  đó  TPXĐ  của  f(x)  từ  a  đến   b  được  định  nghĩa  là b b ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a) a Page  § 11 2.  Tích  phân  xác  định Ý  nghĩa  hình  học b f ( x) ≥ 0 ∫ f ( x)dx = S Cho  f(x)  liên  tục  [a,b]  và                          .  Khi  đó                                           a Chính  là  diện  tích  hình  thang  cong  giới  hạn  bởi   x=a,x=b,y=0,y=f(x)     Page  § 12 2.  Tích  phân  xác  định Các  tính  chất  của  TPXĐ b b ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a a b b b ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a a a b a a ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx = 0 a b a b b f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [a, b] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx a a Page  § 13 2.  Tích  phân  xác  định Các  tính  chất  của  TPXĐ b c b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, ∀c ∈ [a, b] a a c b M ≤ f ( x) ≤ N , ∀x ∈ [a, b] ⇒ M (b − a) ≤ ∫ f ( x) x ≤ N (b − a) a Page  § 14 2.  Tích  phân  xác  định Phương pháp tính TPXĐ Phương pháp đổi biến 2 VD6 Tính I = ∫ 4 − x 2 dx x = 2sin t ⇒ dx = 2cos tdt 0 π x = 0 ⇒ t = 0, x = 2 ⇒ t = π 2 π π 2 2 2 2 I = ∫ 4(1 − sin t ).2cos tdt = 4 ∫ cos t cos tdt = 4 ∫ cos 2 tdt 0 0 0 Page  § 15 2.  Tích  phân  xác  định π 2 sin xdx VD7 Tính I = ∫ 2 0 1 + cos x Page  § 16 2.  Tích  phân  xác  định Phương  pháp  tính  TPXĐ Phương  pháp  TP  từng  phần Cho  u(x),v(x)  là  các  hàm  số  có  đạo  hàm  liên  tục  [a,b].   Khi  đó b b b ∫ udv = (uv) a − ∫ vdu a a Page  § 17 2.  Tích  phân  xác  định Phương pháp tính TPXĐ Phương pháp TP  từng phần e VD8 Tính ∫ ln xdx 1 1 x VD9 Tính ∫ ( x + 1) e dx 0 Page  § 18 3.  Tích  phân  suy  rộng TPSR  loại  1  (có  cận  là  vô  cực) Cho  f(x)  khả  tích  [a,b].  Tích  phân  suy  rộng  loại  1  của   [a, +∞) f(x)  trên                           ký  hiệu  là       ...