Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 2 - Nguyễn Phương

Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: nguyên hàm và tích phân; tích phân xác định; tích phân suy rộng; ứng dụng trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 2 - Nguyễn Phương Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích Bài 2. Tích phân hàm một biến số Nguyễn Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 18 tháng 12 năm 2022 1 NỘI DUNG 1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 3 Định nghĩa 3 Công thức cơ bản của tích phân bất định 5 Các phương pháp tính tích phân 6 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 13 Định nghĩa 13 Tính chất 18 Các phương pháp tính tích phân 22 3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 27 Tích phân suy rộng loại 1 30 Tích phân suy rộng loại 2 46 4 Ứng dụng trong kinh tế 52 Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên 52 Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định 53 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên D nếu F ′ (x) = f (x). Ví dụ 1.1. 1 sin x là nguyên hàm của cos x. 2 x2 là nguyên hàm của 2x. 3 x2 + 2022 là nguyên hàm của 2x. Định lý 1.1. Nếu hàm số F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên D thì 1 Hàm số F (x) + C, với C là hằng số bất kỳ, cũng là nguyên hàm của hàm số f (x). 2 Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều biểu diễn được dưới dạng số F (x) + C, với C là một hằng số. 3 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa Định nghĩa 1.2. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a, b). Khi đó biểu thức F (x) + C với C là hằng số được gọi là tích phân bất định của hàm f (x) trên khoảng (a, b) và được ký hiệu là Z f (x)dx Ví dụ 1.2. R 1 cos xdx = sin x + C R 2 2xdx = x2 + C Tính chất
′ 2) F ′ (x)dx = F (x) + C; R R 1) f (x)dx = f (x); R R R R R 3) af (x)dx = a f (x)dx; 4) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx. R R 5) Nếu f (x)dx = F (x) + C thì f (u)du = F (u) + C, ∀u = u(x). 4 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Công thức cơ bản của tích phân bất định Các công thức tính tích phân cơ bản xα+1 xα dx = dx R 1) +C (α ̸= −1) R α+1 8) = − cot x + C R dx sin2 x 2) = ln |x| + C R dx 1 x x 9) 2 2 = arctan + C x +a a a R x ax 3) a dx = +C R dx 1 a + x ln a 10) 2 2 = ln +C R x a −x 2a a − x 4) e dx = ex + C R R dx x 5) sin xdx = − cos x + C 11) √ = arcsin + C R a2 − x2 a 6) cos xdx = sin x + C √ R dx R dx 12) √ = ln x + x2 + a +C 2 x +a 7) = tan x + C cos2 x Ví dụ 1.3. Tính các tích phân sau: R 1) (x2 + 2x)dx R x3 − 1 2) dx x2 5 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến R Nếu f (u)du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z f (u(x))u′ (x)dx = F (u(x)) + C. Ví dụ 1.4. Tính các tích phân sau: ex Z Z Z −2x arctan x I= e dx, J= dx, K= dx. 1 + x2 ex + 1 Phương pháp tích phân từng phần Cho hàm số u(x), v(x) khả vi , liên tục và có nguyên hàm trên (a, b). Khi ấy hàm u′ (x)v(x) cũng có nguyên hàm trên (a, b) và Z Z u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x) R R thường viết gọn là udv = uv − vdu ...