Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 3 - Nguyễn Phương

Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 3 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: hàm nhiều biến; đạo hàm và vi phân; cực trị; ứng dụng trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 3 - Nguyễn Phương Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích Bài 3. Hàm nhiều biến Nguyễn Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 12 tháng 12 năm 2022 1 NỘI DUNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN 3 Định nghĩa 3 Giới hạn 8 Liên tục 15 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 17 Định nghĩa 17 Đạo hàm riêng cấp cao 19 Hàm khả vi và vi phân toàn phần 21 Đạo hàm của hàm hợp 25 Đạo hàm của hàm ẩn 29 3 CỰC TRỊ 31 Cực trị không có điều kiện ràng buộc 31 Cực trị có điều kiện ràng buộc 39 4 Ứng dụng trong kinh tế 46 Ý nghĩa biên tế 46 Hệ số co dãn 47 Tối ưu trong kinh tế 48 2 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho D ⊆ Rn . Ánh xạ f: D −→ Rn (x1 , . . . , xn ) 7−→ z = f (x1 , . . . , xn ) được gọi là hàm số n biến. Hình 1.1: Hàm n biến. Ví dụ 1.1. 1 f (x1 , x2 ) = x1 + x1 x2 + 3 ←− hàm 2 biến. p 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 ←− hàm 3 biến. x1 + x3 3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ←− hàm 4 biến. 3 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa y z z = f (x, y) (x, y) x 0 O D (a, b) f (a, b) 4 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Định nghĩa 1.2. Đồ thị của hàm hai biến là tập hợp các điểm trong không gian 3–chiều được xác định như sau: Gf = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D}. Ví dụ 1.2. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = sin(x + y). 1 0 1 −1 0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Ví dụ 1.3. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 . 20 5 0 −4 0 −2 0 2 4 −5 6 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Ví dụ 1.4. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 − y2 . 20 0 5 −20 −4 0 −2 0 2 4 −5 7 HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn Định nghĩa 1.3. Cho z = f (x, y) là hàm hai biến và M0 (x0 , y0 ) thuộc miền xác định của f . Giới hạn của f (x, y) khi (x, y) tiến về (x0 , y0 ) là L, ký hiệu lim f (x, y) = L, (x,y)→(x0 ,y0 ) nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi điểm M (x, y) thuộc đĩa mở có tâm (x0 , y0 ), bán kính δ và (x, y) ̸= (x0 , y0 ), thì |f (x, y) − L| < ϵ. Hàm số z = f (x, y) có giới hạn là L khi (x, y) dần đến (x0 , y0 ) có nghĩa là: Khi M (x, y) dần đến M0 (x0 , y0 ) thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến L. 8 HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn 9 HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn
sin x2 + y 2 Ví dụ 1.5. Xét giá trị của hàm số f (x, y) = khi (x, y) → (0, 0). x2 + y 2 y −1, 0 −0, 5 −0, 2 0 0, 2 0, 5 1, 0 x −1, 0 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455 −0, 5 0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759 −0, 2 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829 0 0, 841 0, 990 1, 000 1, 000 0, 990 0, 841 0, 2 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829 0, 5 0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759 1, 0 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455
sin x2 + y 2 Bảng 1: Bảng giá trị của hàm số f (x, y) = x2 + y 2
sin x2 + y 2 Vậy lim = 1. (x,y)→(0,0) x2 + y 2 10 HÀM NHIỀU BIẾN ...