Bài giảng Giải tích: Chương 4 - Phan Trung Hiếu

Bài giảng Giải tích: Chương 4 Tích phân của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 3 bài được trình bày như sau: Nguyên hàm, tích phân xác định, các phương pháp tính tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích: Chương 4 - Phan Trung Hiếu23/10/2017Chương 4:Tích phânGV. Phan Trung Hiếu§1. Nguyên hàm§1. Nguyên hàm§2. Tích phân xác định§3. Các phương pháp tính tích phânLOGO2I. Nguyên hàm:Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trênkhoảng D.Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D F ( x )  f ( x ), x  D.Ví dụ 1.1:Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếuF(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thìF(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trênD. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên Dđều có dạng F(x) + C. x2 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 )  2 x. x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  3)  2 x. x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của2x, vì ( x 2  C )  2 x.3II. Tích phân bất định:Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàmsố f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tấtcả các nguyên hàm của f trên D.Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f đượcký hiệu làf ( x )dx ,4Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)Ví dụ 1.2.  2x dx  x 2  C vì ( x 2 )  2 x.trong đó : dấu tích phân.x : biến lấy tích phân.f ( x ) : hàm lấy tích phân.f ( x )dx : biểu thức dưới dấu tích phân.56123/10/2017III. Tính chất:IV. Bảng tích phân cơ bản:  k . f ( x )dx  k  f ( x )dx với k là hằng số khác 0.   f ( x )  g( x )  dx   f ( x )dx   g( x )dx.Xem Bảng 4.  f ( x )dx  f ( x )  C .  f ( x )dx   f ( x).78I. Công thức Newton-Leibniz:§2. Tích phân xác địnhĐịnh lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz).Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) làmột nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tíchphân xác định của f từ a đến b làb f ( x)dx  F ( x)ba F (b)  F (a )a910II. Tính chất:a f ( x)dx  0aab   f ( x )dx   f ( x )dxbbab k. f ( x)dx  k. f ( x)dxabvới k là hằng sốabb§3. Các phương pháptính tích phân   f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dxabaacabf ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dxavới c nằm giữa a và bcb f ( x )  0 trên [a,b]   f ( x )dx  0.a1112223/10/2017Dạng 1:Tính tích phân bằng cách dùng các công thứctích phân cơ bản, công thức Newton-Leibniz.Ví dụ 3.1. Tínha )  x 5dx3dxx22c) 20b)   2 x  1 dx0dx1 2x1d )Dạng 2:Tính tích phân bằng cách biến đổi hàm dướidấu tích phân, đưa về tích phân cơ bản. Cácphép biến đổi hay dùng làTíchnhân phân phối  Tổng.a b a b cc cm n x m  x n ; x a .x b  x ab ;13xa1 x a b ; b  x  b .xbx14Ví dụ 3.2. TínhCác tính chất của tích phân bất định và xácđịnh.Hằng đẳng thức.Biến đổi lượng giác.Nhân, chia lượng liên hiệp.1x1 a)   7 x 2   dx5 cos 2 x b)  ( x 2  1) xdx0c) (1  e x ) 2dxe3 x2xd )  2cos 2 dx207f )e)  tan 2 xdxg) 15Dạng 3: Phương pháp đổi biến số loại 1Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợpsao chobiểu thức còn lại trong hàm số.Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổihàm số. t 17x2  1  1  x21  x43dxx  2  x 33h)dxx12dx 3x  216Tích phân dạng: I   f u ( x) u( x)dxBước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dxBước 2 (thay vào tích phân):I   f (t ) dt  F (t )  C  F u ( x)   C18323/10/2017Dấu hiệu đổi biến thường gặp:bTích phân dạng:I   f u ( x) u( x) dxaCóĐặt(u(x))nBước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dxabBước 2 (đổi cận): xt u(a) u(b)Bước 3 (thay vào tích phân):t  u(x)ln x vàu (b)It = căncănt  e x  ,   conste x 1xf (t ) dtu (a )và1x1x2t  ln xt1x(cận mới, biến mới).1920DạngĐặt1có tan x vàcos 2 x1có cot x vàsin 2 x1có arcsinx vàcó arccosx vàDạngt = tanxt = cotxt = arcsinx1 x 21 f (cos x)sinx dxt  cos x22Đặtsin x   sin xThay  cos x   cos xVí dụ 3.3. Tính f (sin x, cos x)dxf đổi dấuThay cos x   cos xf đổi dấuTổng quát231a )  x (1  x )20 dxb)  x 3 1 x 2 dx0t  tan xe x dxc)  xe 1f không đổi dấuThay sin x   sin xt = arccotxt  sin x21Dạngt = arctanx f (sin x)cosx dxt = arccosx1 x 2Đặt1có arctanx và1 x 21có arccotx và1 x 2t  cos xdx x (2  ln2x)1e)d)1x1/221sin   dxx e tan x cos2 x dx04f)t  sin xg) arccos x1 x22dxh)  e 2sin x cos xdx0xt  tan224423/10/2017i) sin 2 xdxcos 6 xk) cos3 xdxsin 4 x2Dạng 4: Phương pháp đổi biến số loại 24dxl) 1  sin x0m )  cos x cos 2xdx0dxn) p) CóĐặt2q )  4x  2 e x xdxa 2  u 2 ( x)   u ( x )  a sin t , t   ;  2 2u 2 ( x)  a 24x 2  4x  52sin x  cos xdxsin x  cos xPhương pháp (đổi biến):Đặt x  u(t )  dx  u(t )dtD ...