Bài giảng Giải tích II: Chương 2 - Tích phân bội

Bài giảng "Giải tích II: Chương 2 - Tích phân bội" trình bày các nội dung chính sau đây: Tích phân kép; Đổi biến trong tích phân kép; Tích phân kép trong tọa độ cực; Ứng dụng của tích phân kép; Tích phân bội ba;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích II: Chương 2 - Tích phân bội Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘIViện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 1 / 73Nội dung1 Tích phân kép2 Đổi biến trong tích phân kép3 Tích phân kép trong toạ độ cực4 Ứng dụng của tích phân kép: Diện tích hình phẳng5 Ứng dụng của tích phân kép: Diện tích mặt cong6 Tích phân bội ba7 Đổi biến trong tích phân bội ba8 Tích phân bội ba trong toạ độ trụ9 Tích phân bội ba trong toạ độ cầu10 Ứng dụng của tích phân bội ba: Thể tích Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 2 / 73Bài toán tính thể tích zCho hàm hai biến z = f (x, y) xác định và liên tục trên z = f (x, y)miền D đóng và bị chặn với biên ∂D trong mặt phẳngOxy. Giả sử f (x, y) ≥ 0. Gọi E là vật thể hình trụ giớihạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f (x, y) và mặt trụcó đường sinh song song với Oz tựa trên ∂D, tức là, y E = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ D}. DBài toán: Hãy tìm thể tích V (E) của vật thể E. x Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 3 / 73Xấp xỉ vật thể thành các hình trụ con z f (Mk ) z = f (x, y) y Dk Mk D xPhân hoạch miền D một cách tùy ý thành các miền con D1 , D2 , . . . , Dn sao cho các miền Dk không giao nhaungoại trừ biên của chúng. Gọi ∆Sk là diện tích của miền Dk . Trong mỗi miền Dk , lấy điểm Mk tùy ý. Khi đó, n V (E) ≈ f (Mk ) · ∆Sk . k=1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 4 / 73Định nghĩa tích phân képCho z = f (x, y) là một hàm hai biến xác định trên miền đóng và bị chặn D. Phân hoạch miền D một cách tùy ý thành các miền con D1 , D2 , . . . , Dn sao cho các Dk không giao nhau ngoại trừ biên của chúng. Gọi ∆Sk là diện tích của miền con Dk . Đặt d(Dk ) là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trong Dk , và d = max {d(Dk )}. 1≤k≤n Lấy Mk là điểm tùy ý trong Dk . n Tổng tích phân của f (x, y) trên miền D là In = f (Mk ) · ∆Sk . k=1Nếu lim In tồn tại không phụ thuộc vào cách phân hoạch miền D và cách chọn các điểm Mk trong mỗi miền d→0Dk , thì giới hạn này được gọi là tích phân kép của hàm f trên miền D. Kí hiệu là f (x, y)dS. DLúc đó, ta nói hàm f (x, y) khả tích trên miền D. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 5 / 73Định nghĩa tích phân képGiả sử f (x, y) khả tích trên miền D. Khi đó, việc tính tích phân kép không phụ thuộc cách phân hoạch miền D.Do đó, ta có thể phân hoạch miền D theo các đường song song với các trục tọa độ. Lúc đó, ∆Sk = ∆x · ∆y vàta có thể viết như sau: f (x, y)dS = f (x, y)dxdy. D D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 6 / 73Ứng dụng của tích phân kép: Thể tích của vật thểHệ quả 1Nếu f (x, y) ≥ 0 liên tục trên miền D, thì thể tích V của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặtz = f (x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên ∂D, được tính theo công thức V = f (x, y)dxdy. D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 7 / 73Ứng dụng của tích phân kép: Thể tích của vật thểHệ quả 1Nếu f (x, y) ≥ 0 liên tục trên miền D, thì thể tích V của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặtz = f (x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên ∂D, được tính theo công thức V = f (x, y)dxdy. D √Ví dụ. Cho D = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2}. Hãy tính tích phân 1 − x2 dxdy. D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 7 / 73Ứng dụng của tích phân kép: Thể tích của vật thểHệ quả 1Nếu f (x, y) ≥ 0 liên tục trên miền D, thì thể tích V của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặtz = f (x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên ∂D, được tính theo công thức V = f (x, y)dxdy. ...