Bài giảng Giải tích III - TS. Bùi Xuân Diệu

Bài giảng Giải tích III trang bị cho người học những kiến thức về: Đại cương về chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi số với số hạng có dấu bất kì, chuỗi hàm số, chuỗi lũy thừa, chuỗi fourier. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm những nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích III - TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III TS. Bùi Xuân Diệu Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà NộiTS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 1 / 53Chương 1: Chuỗi1 Đại cương về chuỗi số2 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu4 Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều5 Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa6 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 2 / 53 Đại cương về chuỗi sốChương 1: Chuỗi1 Đại cương về chuỗi số2 Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu4 Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều5 Chuỗi lũy thừa Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa6 Chuỗi Fourier Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 3 / 53 Đại cương về chuỗi sốĐại cương về chuỗi sốĐịnh nghĩaCho {an }∞ n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · · ∞được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là an . Khi đó, an được gọi là P n=1số hạng tổng quát và Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n. TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 4 / 53 Đại cương về chuỗi sốĐại cương về chuỗi sốĐịnh nghĩaCho {an }∞ n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · · ∞được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là an . Khi đó, an được gọi là P n=1số hạng tổng quát và Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n. Nếu như dãy số {Sn } là hội tụ và lim Sn = S tồn tại, thì ta nói n→∞ ∞ ∞ chuỗi số an là hội tụ và có tổng bằng S và viết P P an = S. n=1 n=1 ∞ Nếu dãy số {Sn } là phân kỳ thì ta nói chuỗi số an là phân kỳ. P n=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 4 / 53 Đại cương về chuỗi sốĐại cương về chuỗi sốVí dụChúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1]. Sau đó chúng ta chia đôi khoảng nàyra thì ta được hai khoảng là [0, 1/2] và (1/2, 1], mỗi khoảng có độ dàibằng 1/2. Sau đó ta lại tiếp tục chia đôi khoảng [0, 1/2], thì ta sẽ đượchai khoảng, mỗi khoảng có độ dài bằng 1/4. Tiếp tục kéo dài quá trìnhnày ta sẽ được chuỗi số sau: 1 1 1 1= + + ··· + n + ··· 2 4 2 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 5 / 53 Đại cương về chuỗi sốĐại cương về chuỗi sốVí dụXét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân∞ qn = 1 + q + q2 + · · · .Pn=0 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 6 / 53 Đại cương về chuỗi sốĐại cương về chuỗi sốVí dụXét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân∞ qn = 1 + q + q2 + · · · .Pn=0Ví dụ ∞ 1Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính n(n+1) . P n=1 TS. Bùi Xuân Diệu Giải tích III 6 / 53 Đại cương về chuỗi sốĐại cương về ch ...