Bài giảng Giải tích mạch - Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển

Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Phương pháp tích phân kinh điển, đáp ứng mạch RC và RL bậc nhất, đáp ứng ‘natural’ mạch RC, Đáp ứng mạch RLC bậc hai.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích mạch - Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển Chương 5:Phương pháp tích phân kinh điển➢ 5.1.Phương pháp tích phân kinh điển➢ 5.2. Đáp ứng mạch RC và RL bậc nhất➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mạch RC➢ 2.Đáp ứng ‘natural’ mạch RL➢ 3.Đáp ứng ‘step’ mạch RC➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mạch RL➢ 5.Nghiệm tổng quát đáp ứng mạch RC và RL➢ 5.3. Đáp ứng mạch RLC bậc hai➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC song song➢ 2.Đáp ứng ‘step’ mach RLC song song➢ 3.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC nối tiếp➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mach RLC nối tiếp 5.1.phương pháp tích phân kinh điển Chúng ta sẽ phân tích mạch LTI (tuyến tính bất biến) và nguồn độc lập Quan hệ giữa các giá trị tức thời của dòng điện và điện áp trên các phần tử ta đã xét ở các chương trước. Mạch bao gồm các phần tử RLCM được mô tả bởi phương trình vi tích phân được thành lập dựa trên các định luật Kirchhoff và Ohm. Để tiện việcgiải hệ phương trình , người ta thường đưa về một phương trình vi phân cấp n (m): *Trong đó y(t)(hoặc x(t)) là nghiệm cần tìm, còn x(t)(hoặc y(t)) làhàm đã cho, các hằng số ak; bk biểu diễn các thông số của mạch. Ví dụ e(t) i(t) i2 i1 C L1 II R L2 I➢ Áp dụng KVL để thành lập phương trình áp theo 2 vòng:➢ Khử i1 từ 2 phương trình và lấy đạo hàm 2 vế ta được:1.Nghiệm của phương trình vi phân hệ số hằng *Từ ví dụ trên ta thấy rằng dòng điện i(t) hay điện áp e(t) trongmạch là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.Giả sử rằng vế phải của phương trình đã xác định do nguồn e(t)cho trước, ta ký hiệu là f(t) còn vế trái là nghiệm cần tìm (là điện áp hay dòng điện) ta có: Nghiệm phương trình vi phân có dạng: Y(t) = yxl (t) + yqđ (t) *yqđ (t): được gọi là thành phần quá độ (tự do) nó không phụ thuộc vào hàm f(t) * yxl (t): được gọi là thành phần cưỡng bức (xác lập) a.Nghiệm của phương trình thuần nhất Thành phần yqđ chính là nghiệm của phương trình thuần nhất. Xét phương trình đặc tính: an pn + an-1 pn -1 +…+ a1 p + a0 = 0 Có 3 trường hợp: 1.Nếu tất cả các nghiệm p1; p2;…pn là thực và đơn thì: yqđ = k1 ep1t + k2 ep2t +..+kn epnt2.Nếu là nghiệm đơn phức thì luôn luôn là 1 cặp nghiệm phức liên hiệp. Ví dư: p1 = -α +jβ và p2 = p1* = -α -jβ . Thì: yqđ = y1 + y2 = e-αt (k1 ejβt + k2 e-jβt ) = ke-αt cos(βt + Φ) với k = 2|k1| và Φ = arg k1 . 3.Nếu p1 là nghiệm bội h (có h nghiệm trùng nhau) và số còn lại là đơn, thì: yqđ = (k1 + k2 t+… +kh th-1)ep1t +…+ kn epnt . Ví dụ về tìm thành phần quá độ i(t) + C L u(t) R -➢ Hãy tính thành phần quá độ của điện áp u(t) như hình trên ➢ Giải:➢ Ta có:➢ Với giả thuyết i(t) = 0. Lấy đạo hàm 2 vế ta được: ➢ Với: ω02 = 1/LC; α =1/2RC Ví dụ về tìm thành phần quá độ Phương trình đặc tính của mạch: p2 +2αp + ω02 = 0Có các nghiệm:*Nếu α2 > ω02 (2 nghiệm thực đơn), thành phần quá độ sẽ là:*Nếu α2 = ω02 ( nghiệm thực kép = -α), thành phần quá độ sẽ là: uqđ (t)= (k1 + k2 t)e-αt . *Nếu α2 < ω02 (cặp nghiệm thực liên hiêp),thành phần quá độ là: uqđ (t)= ke-αt cos(βt +Φ) ; với: b)Nghiệm của phương trình không thuần nhất + i(t) C R u(t) -➢ Để tìm thành phần yxl ta dùng phương pháp hệ số không xác định. Vấn đề là phải đoán trước dạng của nghiệm ph.trình (5.2)➢ Ta xét ví dụ: Hãy xác định điện áp u(t) của mạch như hình.Nếu➢ 1. i(t)=1 A; 2. i(t) = cosωt A; 3. i(t) = e-t cost A; C =1F; R =1/3 Ω➢ 4. i(t) = e-2t A; C =1F; R =1/2 Ω ➢ Giải: ➢ Điện áp u(t) là nghiệm của phương trình vi phân: ➢ Cdu/dt + u/R = i(t) ➢ Bao gồm 2 thành phần: uqđ là nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất và uxl là nghiệm của phương trình không thuần nhất b)Nghiệm của phương trình không thuần nhất Thành phần quá độ không phụ thuộc vào kích thích: uqđ (t) = ke-t/RCThành phần cưỡng bức phụ thuộc vào nguồn kích thích nên cần xét các trường hợp cụ thể:1. i(t) = 1 A. Ta đoán nghiệm riêng của phương trình không thuầnnhất có dạng uxl = B và thay vào phương trình vi phân ta ...