Bài giảng học Ma trận

Trong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực hoặc số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột. Trong đại số tuyến tính, ma trận...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng học Ma trận Ma trậnTrong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực hoặcsố phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột.Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyếntính và biến đổi tuyến tính.Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận kề),lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số...Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều.Ma trận thông dụng nhất là ma trận hai chiều. Tổng quát hóa của khái niệm ma trậnhai chiều là ma trận khối. Trong lập trình, ma trận khối được lưu trữ bằng các mảngnhiều chiều.Mô tảCác dòng ngang của ma trận gọi là hàng và các cột thẳng đứng là cột. Hình dạng matrận được đặc trưng bởi số hàng và số cột (kích thước ma trận). k phần tử. Ma trậnthường được viết thành bảng kẹp giữa 2 dấu ngoặc vuông [ và ] (hoặc, hiếm hơn,dấu ngoặc ( và )). Thí dụ:Các loại ma trận đặc biệtMa trận tam giácMa trận tam giác là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía trên (hoặc tất cảcác phần tử nằm dưới) đường chéo chính đều bằng 0. Như vậy ta có ai,j=0 với mọi ij.Ma trận chéoMa trận chéo là ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đườngchéo chính bằng 0, nghĩa là ai,j=0 với mọi i ≠ j.Ma trận đơn vịMa trận đơn vị trên một vành nào đó, là ma trận vuông, có các phần tử nằm trên mộtđường chéo mang giá trị là đơn vị nhân của vành đó (nếu là vành số thông thường thì làsố 1), tất cả các phần tử còn lại mang giá trị trung hòa (nếu là vành số thông thườngthì là số 0).Thí dụ:Ma trận khôngMa trận không là ma trận có các phân tử đều bằng không.Các phép toán đại số trên ma trậnPhép cộng ma trậnCó thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước m x n. Cho các ma trận cấp mx n A và B, tổng A + B là ma trận cùng cấp m x n nhận được do cộng các phần tửtương ứng (nghiã là). Chẳng hạn:Phép nhân ma trận với một sốCho ma trận A và số c, tích cA được tính bằng cách nhân tất cả các phần tử của A vớisố c (nghĩa là ). Chẳng hạn:Phép nhân ma trậnPhép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng sốdòng của ma trận bên phải. Nếu ma trận A có kích thước m x n và ma trận B có kíchthước n x p, thì ma trận tích AB có kích thước m xp có phần tử đứng ở hàng thứ i, cộtthứ j xác định bởi:với mọi cặp (i,j)=1..m; j =1..p.Chẳng hạn:Phép nhân ma trận có các tính chất sau: • (AB)C = A(BC) với mọi ma trận cấp k xm A, ma trận m x n B và ma trận n xp C (kết hợp). • (A + B)C = AC + BC với mọi ma trận cấp m xn các ma trận A và B và ma trận cấp n x k C (phân phối bên phải). • C(A + B) = CA + CB (phân phối bên trái).Cần chú ý rằng phép nhân ma trận không giao hoán. Ma Trận Ngịch ĐảoTrong đại số tuyến tính, một ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến làmột ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận.Ma trận đơn vị • Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không. • Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó • Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên vành V nếu tồn tại ma trận A cùng cấp n sao cho A A = A A = E. Khi đó A được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A−1.Các tính chất 1. Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V. 2. Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. 3. Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch. 4. Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và (AB) − 1 = B − 1A − 1. 5. Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận.Tìm ma trận nghịch đảoĐịnh thức con và phần bù đại số • Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử aij, ký hiệu là Mij. • Định thức con Mij với dấu bằng (-1)i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, kí hiệu là Aij.Ví dụ: Cho ma trận . Khi đó Tương tự A12=0; A13=0; A21=-3 ;A22=3 ;A23=0;A31=-1 ;A32=-1;A33=2;Công thức tính ma trận nghịch đảoNếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tínhbằng công thức:Ví dụTrong ví dụ trên, ta có =Các bước tìm ma trận nghịch đảo • Bước 1: Tính định thức của ma trận A Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo A − 1 Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo A − 1, chuyển sang bước 2 • Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A của A. • Bước 3: Lập ma trận liên hợp của A được định nghĩa như sauA * = (Aij)nmvới A = (Aij) là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A. • Bước 4: Tính ma trậnVí dụCho . Tính A − 1, nếu có.Đáp ánMa trận liên hợp: .Ma trận nghịch đảo: Hệ Phương Trình Tuyến TínhTrong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại sốtuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp n phương trìnhtuyến tính với k biến số:Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng phương trình ma trận: Ax=bVới A là ma trận chứa các hệ số ai,j (ai,j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x làvector chứa các biến xj; b là vector chứa các hằng số bi. Tức là:Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn(ví dụ số thực hay số phức) ...