Bài giảng học toán kinh tế

Tài liệu tham khảo về toán kinh tế - Giới hạn vô hạn của hàm số
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng học toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế 2. Giới hạn vô hạn của hàm số: lim f ( x) = + ∞ x → x0 ∀N > 0 lớn tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ f(x) > Nlim f ( x) = −∞x → x0 ∀N < 0 nhỏ tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ f(x) < N Ví dụ: chứng minh 1 =+∞ lim x→a ( x − a ) 2 3. Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 thì • Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2 • Lim [f(x)g(x)] = L1L2 • Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0) • Lim [f(x)]m = L1m (L1m ∈ R) • Lim C = C • Lim [Cf(x)] = CL1 ∞ Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.∞ , ∞ - ∞ , 1 thì phải biến đổi để khử chúng. Ví dụ: Tìm x2 − 1 x3 − 8 sin x b) lim c) lim a ) lim 2 x →1 x − 1 x →2 x − 2 x→ π 3 x + x + 1 2 Định lý: Giả sử g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu lim g ( x) = lim h( x ) = L = > lim f ( x) = L x → x0 x→ x0 x → x0 Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ c ấp xác đ ịnh trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)] Ví dụ: Tìm  πx 2 + 1  lim sin  2  2x − x   x →∞   4. Một số giới hạn đặc biệt: ln(1 + x) x ax −1  1 lim(1 + x ) sin x 1/ x =e =1 = ln a lim = 1 lim1 +  = e lim lim x x →0 x x →0  x x →0 x x →∞ x→0 Ví dụ: Chứng minh: arctgx tgx arcsin x =1 lim =1 =1 lim lim x x →0 x →0 x x x →0 Ví dụ: Tìm: x +3 x  x + 2 3+ x lim  lim  x →∞ x − 1 x   x →∞ Nguồn: 1 www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tế5. So sánh vô cùng béĐịnh nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình: • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = ∞ , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x) Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh • đượcĐịnh lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f 1(x), g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] =lim[f1(x)/g1(x)]Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùngquá trình thìf(x) + g(x) ~ f(x)Ví dụ: Chứng minh sin 2 x + arcsin 2 x − arctg 2 x 2 = lim 3x 3 x →0 Khi x →0sin x x ~ x 2 + x 36. So sánh vô cùng lớn:Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x) = ∞ • Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL • Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCBĐịnh nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình: • Nếu lim[F(x)/G(x)] = ∞ , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ∞ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc. Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hi ệu • F(x)~G(x)Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, N ếu F(x)~F1(x) , G(x)~G 1(x)thì lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)]Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trongcùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x)Ví dụ: Tìm 7 x3 − x5 + 6 xlimx →∞ 12 x 3 + x 2 − 6 xĐịnh nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0Nếu chỉ có lim f ( x) = f ( x0 ) hoặc lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 − x → x0 + Nguồn: 2 www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tếthì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x0Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu nó không liên tục tại x0.Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:- Hoặc f(x) không xác định tại x0- Hoặc f(x) xác định t ...