Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động - Hệ thống điều khiển phi tuyến part 9

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái sau: & x = f ( x, u ) Một điểm trạng thái xe được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ đang ở trạng thái xe và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó. Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:& x = f ( x , u ) x = xe ,u =0 = 0
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động - Hệ thống điều khiển phi tuyến part 9 Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán Xeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi sau: x = f ( x, u ) & Moät ñieåm traïng thaùi xe ñöôïc goïi laø ñieåm caân baèng neáu nhö heä ñang ôû traïng thaùi xe vaø khoâng coù taùc ñoäng naøo töø beân ngoaøi thì heä seõ naèm nguyeân taïi ñoù. Deã thaáy ñieåm caân baèng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình: x = f ( x , u ) x = xe ,u =0 = 0 & Heä phi tuyeán coù theå coù nhieàu ñieåm caân baèng hoaëc khoâng coù ñieåm caân baèng naøo. Ñieàu naøy hoaøn toaøn khaùc so vôùi heä tuyeán tính , heä tuyeán tính luoân luoân coù 1 ñieåm caân baèng laø xe = 0.26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 65 Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán – Thí dụ Xeùt heä con laéc moâ taû bôûi PTVP: u ml 2θ&(t ) + Bθ (t ) + mgl sin θ = u (t ) & & l θ Xaùc ñònh caùc ñieåm caân baèng (neáu coù) m − + 0  x1 (t ) = θ (t ) Thaønh laäp PTTT. Ñaët:   x 2 (t ) = θ (t ) & x (t ) = f ( x (t ), u (t )) PTTT moâ taû heä con laéc laø: &  x2 (t )  trong ñoù: f ( x, u ) =  g  B 1 − sin x1 (t ) − 2 x2 (t ) + 2 u (t )  l  ml ml26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 66 Ñieåm caân baèng cuûa heä phi tuyeán – Thí dụ Ñieåm caân baèng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình: x = f ( x , u ) x = xe ,u =0 = 0 &  x2 e = 0 2kπ  ⇒ xe =  − g sin x − B x = 0 0   l 1e 2 2e  ml  x2 e = 0⇒   x1e = kπ Keát luaän: Heä con laéc coù ( 2k + 1)π  voâ soá ñieåm caân baèng: xe =    x2 (t )  0   kπ  f ( x, u ) =  g  B 1 xe =   − sin x1 (t ) − 2 x2 (t ) + 2 u (t )  0 l  ml ml26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 67 OÅn ñònh taïi ñieåm caân baèng Ñònh nghóa: Moät heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh taïi ñieåm caân baèng xe neáu nhö coù moät taùc ñoäng töùc thôøi ñaùnh baät heä ra khoûi xe vaø ñöa ñeán ñieåm ñöôïc x0 thuoäc laân caän naøo ñoù cuûa xe thì sau ñoù heä coù khaû naêng töï quay ñöôïc veà ñieåm caân baèng xe ban ñaàu.Chuù yù: tính oån ñònh cuûa heä phi tuyeán chæ coù nghóa khi ñi cuøng vôùiñieåm caân baèng. Coù theå heä oån ñònh taïi ñieåm caân baèng naøy nhöngkhoâng oån ñònh taïi ñieåm caân baèng khaùc. Thí duï: Ñieåm caân baèng oån ñònh Ñieåm caân baèng khoâng oån ñònh26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 68 OÅn ñònh Lyapunov Cho heä phi tuyeán khoâng kích thích moâ taû bôûi PTTT: (1) x = f ( x , u ) u =0 &Giaû söû heä thoáng coù ñieåm caân baèng xe = 0. Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh Lyapunov taïi ñieåm caân baèng xe = 0 neáu vôùi ε > 0 baát kyø bao giôø cuõng toàn taïi δ phuï thuoäc ε sao cho nghieäm x(t) cuûa phöông trình (1) vôùi ñieàu kieän ñaàu x(0) thoûa maõn: x ( 0) < δ ...