Bài giảng Lý thuyết hệ thống và điều khiển học: Phần 2 - ĐH CNTT&TT

(NB) Phần 2 của bài giảng "Lý thuyết hệ thống và điều khiển học" trình bày một số bài toán điều khiển tối ưu quan trọng và tổ chức xây dựng và quản lý hệ thống kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết hệ thống và điều khiển học: Phần 2 - ĐH CNTT&TT Chương 4 MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU QUAN TRỌNG4.1 Đặt vấn đề Giống như bài toán tối ưu nói chung, các bài toán điều khiển tối ưu có rấtnhiều dạng khác nhau, tùy theo điều kiện tối ưu và tiêu chuẩn tối ưu mà người ta đặtra. Tuy nhiên, một cách khái quát bài toán điều khiển tối ưu rời rạc có thể đặt ra nhưsau: Cho T= {0,1,2,...,N} tập các điểm rời rạc. U là tập các điều khiển chấp nhận được và giả sử động thái của hệ được mô tảbởi: X(t)= G[x(t0) , u(t), t0, t] Y(t)= H[x(t), u(t), t] Trong đó : u(t)  U G: (X x U x T x T) →X H: (X x U x T) → Y Giả sử S  X x Y x T là tập mục tiêu. Ta nói rằng tác động u(t)  U chuyển(x0, t0) đến S nếu x(t0) = x0 và {G[x(t0) , u(t), t0, t] ; H[G[x(t0) , u(t) , t0, t]; t  t0]}  S  Ø Nếu t1 là thời điểm sớm nhất mà (x(t), y(t), t)  S Thì t1 –t0 gọi là thời gian chuyển. Khi đó bài toán điều khiển tối ưu hệ thốngmà ta đang xét là: F(x0, t0, u(t),t1) → min Trong đó F là phiếm hàm mục tiêu hay phiếm hàm chất lượng. Ví dụ: Xét nền kinh tế với thời gian rời rạc: x(t+1) = (1-b)x(t) + z(t) 87 x(0) = x0, x(N)  M y(t) = c(t) +z(t) Trong đó : x(t) là vốn cơ bản, b là tỷ lệ hao mòn vốn cơ bản 0động: phân chia bài toán tối ưu trong không gian n chiều thành n bài toán tối ưu 1chiều. - Hai là đối với bài toán điều khiển các hệ thống phức tạp, cấu trúc của hệthường là yếu, thông tin lại không đầy đủ, thậm chí mục tiêu cũng không rõ ràng.Trong trường hợp này lý thuyết “tối ưu mờ“ có thể là một cách tiếp cận bắt buộc vàcó hiệu quả. - Ba là Bài toán điều khiển tối ưu theo nhiều mục tiêu đồng thời trong đó cónhững mục tiêu không tương thích với nhau và cũng có những mục tiêu mâu thuẫnnhau; ở đây lý thuyết cực trị thông thường tỏ ra không thích hợp, chúng ta phải tìmmột giải pháp khác. Ta sẽ lần lượt nghiên cứu giải pháp cho từng tình huống nêu trên.4.2 Điều khiển tối ưu của hệ động cỡ lớn nhiều bước Trong phạm vi cuốn sách này ta chỉ xét những hệ tuyến tính để việc diễn giảidễ dàng hơn và thuật toán phân chia cũng dễ thực hiện hơn, đối với những hệ phaituyến, về nguyên tắc vẫn có thể áp dụng nhưng kỹ thuật tính toán cụ thể đòi hỏiphải có những bổ sung thích hợp do đó phức tạp hơn. Bài toán quy hoạch tuyến tính nhiều bước tổng quát có dạng: F[x(t) , u(t), c(t)]  min x(t+1) =Ax(t) +Bu(t) +S(t) Px(t)+ Qu(t)  R(t) x(t)  0, t=0,1,2,...,N Ví dụ : bài toán lập kế hoạch sản xuất có dạng N F=   c(t ), u(t )  min t 1 x(t) = x(t-1) +Bu(t) – h(t) Du(t) = d(t) x(0) =x0 Trong đó : x(t) mức dự trữ sản phẩm ở năm t u(t) mức hoạt động sản xuất ở năm t B ma trận các hệ số “hoạt động – ra“ 89 D ma trận các hệ số “hoạt động – vào“ h(t) mức tiêu thụ ở năm t d(t) hạn chế về tài nguyên, công suất ở năm t. c(t) chi phí (hao phí) cho một đơn vị cường độ hoạt động sản xuất ở năm t. Để giải bài toán này ta có thể đổi chỉ số để đưa về bài toán quy hoạch tuyếntính thông thường, nhưng tốt hơn vẫn là lợi dụng cấu trúc đặc biệt của bài toán nàyđể giải trực tiếp bằng cách phân chia thành các bài toán nhỏ, theo phương phápphân chia của Dantzig – Wolfe. Ta viết lại bào toán này như sau: Du(2) = d(2) Nhưng khi giải bài toán khối (1) thì x(1) đã được hoàn toàn xác định một cáchtối ưu và được coi là điều kiện ban đầu của bài toán khối (2). - Khối (N) tương tự như trên có dính đến khối (N - 1) bởi x(N-1), đã được xácđịnh một cách tối ưu khi giải bài toán khối (N-1)  min x(N-1) +Bu(N) – x(N) = h(N) Du(N) = d(N) Và x(N-1) được coi là điều kiện ban đầu của bài toán khối (N). Nhờ cách nàyta đã phân chia được một bài toán N bước cỡ lớn thành N bài toán 1 bước cỡ nhỏ vàđơn giản hơn. Đối với bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn, bên cạnh thuật toán phân chianhư trên, phương pháp nhân tử Lagrange tỏ ra có hiệu lực. Chẳng hạn ta xét bàitoán F(x)= CTx  min Ax  b, x  0 Trong đó CT là chuyển vị của C Ta viết lại điều kiện Ax  b dưới dạng g(x)= b-Ax  0, khi đó hàm Lagrange códạng. L(x,  )= CTx + λT(b-Ax) = (C – ATλ)x + λTb Trong đó C  Rn, λ  Rm còn λT là chuyển vị của λ. Bài toán tìm cực tiểu của hàm L(x,λ) tương đương với bài toán đối ngẫu λTb  max ...