Giới thiệu một số kết quả cơ bản về lý thuyết viability cho bao hàm thức vi phân

Bài viết "Giới thiệu một số kết quả cơ bản về lý thuyết viability cho bao hàm thức vi phân" giới thiệu một số kết quả cơ bản về lý thuyết viability cho bao hàm thức vi phân nhằm áp dụng lý thuyết này vào các bài toán trong thực tế.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giới thiệu một số kết quả cơ bản về lý thuyết viability cho bao hàm thức vi phân TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN GIỚI THIỆU MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT VIABILITY CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN INTRODUCTION OF SOME BASIC RESULTS ABOUT VIABILITY THEORY FOR INCLUDING DIFFERENTIAL MODELS Ngày nhận bài Ngày nhận bài : 23.5.2022 23.5.2022 Ngày nhận kết quả phản biện : 28.8.2022 Ngày nhận kết quả phản biện 28.8.2022 ThS. Nguyễn Hoàng Trúc - ThS. Trần Thị Vân Anh Ngày duyệt đăng Ngày duyệt đăng : 20.9.2022 Trường Đại học Tài chính - Kế toán TÓM TẮT Bài báo giới thiệu một số kết quả cơ bản về lý thuyết viability cho bao hàm thức vi phân nhằm áp dụng lý thuyết này vào các bài toán trong thực tế. Từ khóa: Lý thuyết viability, bao hàm thức vi phân. ABSTRACT The article introduces some basic results on viability theory for differential equation inclusion in order to apply this theory to real-life problems. Keywords: viability theory, including differential equations. 1. Đặt vấn đề Bao hàm thức vi phân là một công cụ có hiệu quả cho việc nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu: chọn lựa các quỹ đạo để tối ưu một tiêu chí cho trước - một hàm trên không gian tất cả các quỹ đạo. Điều này đòi hỏi các yếu tố: - Có người ra quyết định để điều khiển hệ thống. - Người ra quyết định phải có hiểu biết sâu rộng và dự đoán tốt về tương lai (bao gồm việc xác định các tiêu chí tối ưu). - Quyết định tối ưu được chọn một lần cho tất cả các khoảng thời gian khác nhau. Các đòi hỏi này thường không được đáp ứng trong các hệ thống “vĩ mô” tuân theo luật tiến hóa Darwinnian. Các hệ thống như thế dường như không có mục tiêu cũng như không mong muốn tối ưu hóa một tiêu chí nào đó. Chúng đòi hỏi một yêu cầu tối thiểu gọi là “viability” (vẫn “sống sót” theo nghĩa thỏa mãn một số ràng buộc). Xét các bao hàm thức vi phân  u (t ) ∈ F ( t , u (t ) ) (*) và  u (t ) ∈ Au (t ) + F ( t , u (t ) ) (**) và quan tâm đến việc tìm các điều kiện cần hoặc điều kiện cần và đủ để với mỗi u0 ∈ K , các bao hàm thức (*) hoặc (**) có ít nhất một nghiệm thỏa điều kiện đầu u (0) = u0 . Ở đây K là một tập con của không gian Banach X. Người tiên phong trong việc nghiên cứu bài toán viability là nhà toán học Nagumo, khi xét (*) trong 98 ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN trường hợp X là không gian hữu hạn chiều và F là hàm đơn trị liên tục. Việc mở rộng các kết quả của Nagumo từ phương trình vi phân thường sang bao hàm thức vi phân được cho bởi [Bebernes-Schuur, 1970]. Cụ thể hơn, Bebernes-Schuur đã chứng minh rằng nếu F là hàm đa trị nữa liên tục trên, nhận giá trị lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng, trong khi K là tập đóng địa phương thì K sống được (viable) tương ứng với F nếu và chỉ nếu F ( ξ ) ∩ J k ( ξ ) ≠ ∅ (***) với mỗi ξ ∈ K, với Jk là nón tiếp xúc của K tại ξ. Khi X là không gian vô hạn chiều ta có thể dễ dàng thu được một mở rộng của [Bebernes-Schuur, 1970] bằng cách giả sử rằng K là compact địa phương và F nhận giá trị lồi compact khác rỗng (xem [Aubin-Cellina, 1984]). Năm 1997, Clarke, Ledyaev, và Radulescu đã xét trường hợp X là không gian Hilbert vô hạn chiều và giảm giả thiết trên tập K từ compact địa phương thành đóng địa phương nhưng đồng thời tăng giả thiết trên F bằng cách giả sử rằng: (CH) tồn tại k > 0 sao cho với bất kỳ tập bị chặn D trong X, ta có α(F(D)) ≤ kα(D), trong đó α là độ đo phi compact loại Kuratowski. Ta lưu ý rằng điều kiện (CH) kéo theo tính chất compact của F. Bằng cách giả sử rằng F có giá trị đóng, bị chặn thay vì compact, và K là compact địa phương Carja và Monterio Marques (2002) đã thu được điều kiện cần và đủ cho tính viability của K tương ứng với F thỏa (***) với khái niệm tập tiếp xúc yếu hơn. 2. Lý thuyết Viability 2.1. Bao hàm thức vi phân Lý thuyết Viability có vai trò quan trọng trong việc phân tích các hệ động lực không tất định, và cả các hệ động lực ngẫu nhiên - một thành phần quan trọng khi nghiên cứu các vấn đề kinh tế và môi trường. Tính không tất định của hệ động lực được mô hình trong lý thuyết Viability chủ yếu thông qua các bao hàm thức vi phân, có thể được xem như các phương trình vi phân có giá trị tập. Việc mô tả hệ động lực theo cách này khác với việc sử dụng các phương trình vi phân ngẫu nhiên, vì không có một phân bố xác suất nào trên tập các trạng thái của hệ thống. Ta ký hiệu x(t) là trạng thái của một hệ thống tại thời điểm t > 0. Sự tiến hóa của hệ thống có thể được mô hình hóa bởi bao hàm thức vi phân sau: • (1) x(t ) ∈ F ( x(t ) ) Có thể hiểu bao hàm thức này như sau: Trạng thái của hệ thống thay đổi theo thời gian với vận • tốc x(t ) là một phần tử của tập F ( x(t ) ) , trong đó F là một hàm trạng thái. Tính không tất định của F(x(t)) có thể đến từ bất kỳ nguồn nào sau đây: (i) Hệ thống có thể được điều khiển bởi người ra quyết định. Trong trường hợp này, chúng ta có thể viết lại (1) dưới dạng • (2) x(t ) = f ( x(t ), u (t ) ) (3) u (t ) ∈U ( x(t )) trong đó (2) là một phương trình vi phân tham số chuẩn và (3) là hàm chọn u(t) thuộc tập trạng thái tiềm năng, U(x(t)). (ii) Có thể có sự không tất định của mô hình động lực cơ bản. Ví dụ, có thể có một số đề xuất 99 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TO ...