Bài giảng Lý thuyết xác suất: Chương 4 - Trường ĐH Sư phạm Hà Nội

Bài giảng Lý thuyết xác suất: Chương 4 trình bày những kiến thức về luật số lớn nhất và các định lý giới hạn. Những nội dung chính được trình bày trong chương này gồm có: Các bất đẳng thức cơ bản, các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên, hàm đặc trưng, định lý giới hạn trung tâm,... Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết xác suất: Chương 4 - Trường ĐH Sư phạm Hà Nội CHƯƠNG IV LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN Khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư Phạm Hà NộiKhoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 1 / 42 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiênCác bất đẳng thức cơ bảnBất đẳng thức MarkovCho X là một BNN. Khi đó, với mọi a > 0, p > 0 ta có: E[|X |p ] P [|X | > a] ≤ . apBất đẳng thức ChebyshevCho X là một BNN. Khi đó, với mọi a > 0 ta có: Var [X ] P [|X − E[X ]| > a] ≤ . a2 Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 2 / 42 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiênCác bất đẳng thức cơ bản...Bất đẳng thức H¨lder o 1 1Cho X , Y là hai BNN. Khi đó, với mọi p, q > 0 thỏa mãn p + q = 1, ta có: E[|X ||Y |] ≤ (E [|X |p ])1/p (E [|Y |q ])1/q .Bất đẳng thức JensenCho X là một BNN. Khi đó, với mọi hàm lồi ϕ(x) ta có: E[ϕ(X )] ϕ(E[X ]). Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 3 / 42 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiênCác dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiênCác dạng hội tụCho X1 , X2 , ..., Xn , ... là dãy các BNN phụ thuộc vào chỉ số n. Ta nói dãyBNN X1 , X2 , ..., Xn , ... được gọi là: hội tụ hầu chắc chắn tới BNN X khi n → +∞ nếu P [ω ∈ Ω|Xn (ω) → X (ω)] = 1. h.c.c Kí hiệu: Xn −→ X . hội tụ theo xác suất tới BNN X khi n → +∞ nếu với mọi ε > 0, P[|Xn − X | > ε] → 0 khi n → +∞. P Kí hiệu: Xn −→ X . hội tụ theo trung bình bậc p (với p > 0) tới BNN X khi n → +∞ nếu: E[|Xn − X |p ] → 0 khi n → +∞. Lp Kí hiệu: Xn −→ X . Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 4 / 42 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiênCác dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên...Các dạng hội tụ hội tụ theo phân phối tới BNN X khi n → +∞ nếu: FXn (x) → FX (x) khi n → +∞ ∀x ∈ C (FX ), d với C (FX ) là tập các điểm liên tục của FX (x). Kí hiệu: Xn −→ X . hội tụ yếu tới BNN X khi n → +∞ nếu: E[f (Xn )] → E[f (X )] khi n → +∞ ∀f (x) ∈ Cb (R), với Cb (R) là tập các hàm liên tục và bị chặn trên R. w Kí hiệu: Xn −→ X . Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 5 / 42 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiênCác dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên...Bổ đề Borel-Cantelli ∞ ∞Cho (An ) là dãy các biến cố. Đặt: lim sup An = Ak . n=1 k=n ∞ Nếu P (An ) < ∞ thì P ( lim sup An ) = 0. n=1 ∞ Nếu (An ) là dãy các biến cố độc lập và P (An ) = ∞ thì n=1 P (lim sup An ) = 1. Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 6 / 42 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiênCác dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên...Hệ quả của Bổ đề Borel-Cantelli ∞ h.c.c Nếu P [|Xn − X | > ε] < ∞ ∀ε > 0 thì Xn −→ X . n=1 ∞ h.c.c Nếu 0 < εn ↓ 0 và P [|Xn − X | > εn ] < ∞ thì Xn −→ X . n=1 ∞ Nếu εn > 0 và εn < ∞ và P [|Xn − X | > εn ] < ∞ thì n=1 h.c.c Xn −→ X . Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 7 / 42 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiênCác dạng hội tụ c ...