Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 1 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên, cung cấp cho người học những kiến thức như: Bổ túc về giải tích kết hợp; Biến cố ngẫu nhiên; Xác suất của biến cố ngẫu nhiên; Các định lý cơ bản của xác suất; Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 1 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai Trường Đại học Thương mại Bộ môn ToánLÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai Email: tuyetmainguyen@tmu.edu.vnChương 1BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1. Bổ túc về giải tích kết hợp 2. Biến cố ngẫu nhiên 3. Xác suất của biến cố ngẫu nhiên 4. Các định lý cơ bản của xác suất 5. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes1. BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH KẾT HỢP1.1. Chỉnh hợpMột nhóm có thứ tự gồm ? phần tử khác nhau của ? phần tử chotrước: ?! ??? = ?−? !1.2. Chỉnh hợp lặpMột nhóm có thứ tự gồm ? phần tử (không nhất thiết phải khácnhau) của ? phần tử cho trước: ?ሚ?? = ??1.3. Hoán vịMỗi cách sắp xếp có thứ tự ? phần tử đgl một hoán vị.Số hoán vị: ?? = ?!1.4. Tổ hợpMột nhóm không kể đến thứ tự gồm ? phần tử khácnhau của ? phần tử cho trước: ?! ??? = ?! ? − ? !Ví dụ: Một hộp có 5 bi đỏ 8 bi xanh.• Có bao nhiêu cách lấy được 3 viên bi?• Có bao nhiêu cách lấy được 3 bi đều mầu xanh?• Có bao nhiêu cách lấy được 3 bi cùng mầu?• Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi đỏ và 2 bi xanh?2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN2.1. Phép thử và biến cố Phép thử (hay thí nghiệm): việc thực hiện một tổ hợp các hành động nào đó mà ta chưa biết trước được kết quả của nó. Không gian mẫu: là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Biến cố: là một tập con của không gian mẫu.VÍ DỤ: TRONG HỘP CÓ 1 BI XANH, 1 BI ĐỎ VÀ 1BI VÀNG. HÃY XÁC ĐỊNH KHÔNG GIAN MẪU VÀCÁC KẾT CỤC CỦA CÁC PHÉP THỬ SAUa) Lấy ra ngẫu nhiên 1 bi từ hộp.b) Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 bi từhộp.c) Lấy ra lần lượt 2 bi từ hộp.d) Lấy ra ngẫu nhiên 1 bi từ hộp, xemmàu, trả lại hộp rồi lại lấy ra ngẫu nhiên1 bi nữa.Phân loại biến cố:• Biến cố chắc chắn (U): là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện.• Biến cố không thể có (V): là biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện.• Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thử được thực hiện. (Biến cố ngẫu nhiên được kí hiệu bởi các chữ cái hoa A, B, C…)VÍ DỤ: XÉT PHÉP THỬ GIEO HAI CON XÚC XẮC CÂN ĐỐI.BIỂU DIỄN CÁC BIẾN CỐ SAU DƯỚI DẠNG TẬP HỢPa) A là biến cố xuất hiện hai mặt 1 chấm.b) B là biến cố xuất hiện hai mặt 4 chấm.c) C là biến cố xuất hiện hai mặt cùng chấm.d) D là biến cố tổng số chấm bằng 8.e) E là biến cố tích số chấm xuất hiện là số lẻ.2.2. Mối quan hệ giữa các biến cốa) Tổng các biến cố: ?+?Xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra.Ví dụ 1: Xét phép thử: Hai người cùng bắn vào mục tiêu:• A là biến cố: người thứ nhất bắn trúng.• B là biến cố: người thứ hai bắn trúng.• A+B: biến cố một trong hai người bắn trúng⇒ Mục tiêu bị trúng đạn.Ví dụ 2: Tung con xúc xắc 6 chấm:• ?? là biến cố mặt thứ ? xuất hiện. (? = 1, . . 6)• ?2 + ?4 + ?6 : biến cố xuất hiện số chấm là chẵn.b) Tích các biến cố: ?. ?Xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố xảy ra.Ví dụ: Học sinh đgl thi đỗ nếu cả hai môn Vănvà Toán cùng trên 5 điểm.• A: Học sinh được trên 5 điểm Văn.• B: Học sinh được trên 5 điểm Toán.• ?. ?: Học sinh thi đỗc) Các biến cố đồng khả năng:Là các biến cố mà khả năng xảy ra hay khôngxảy ra của chúng đều như nhau.Ví dụ: Gieo con xúc xắc cân đối, đồng chất thìkhả năng xuất hiện các mặt đều như nhau.d) Các biến cố xung khắc:• Hai biến cố ?, ? đgl xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. Tính chất: ?, ? xung khắc thì ?. ? = ?.• Các biến cố ?1 , ?2 , . . , ?? đgl xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong hệ xung khắc với nhau. ( ?? . ?? = V ∀?, ?).Ví dụ: Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ, 5 bivàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi:• ?? (i = 0,1,2) là biến cố trong 2 viên lấy được có ? bi xanh .• ?? là các biến cố xung khắc từng đôi.e) Hệ đầy đủ các biến cố:Hệ gồm ? biến cố {?1 , ?2 , . . , ?? } là một hệ đầyđủ biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi và khiphép thử được thực hiện thì nhất thiết phải xảyra một trong ? biến cố trên. ?? . ?? = ? (∀? ≠ ?)Tính chất: ൝ ? σ?=1 ?? = ?Ví dụ: Hệ {?? } ? = 0,1,2 trong ví dụ câu d) làhệ đầy đủ.f) Hai biến cố đối lập:Hai biến cố ?, ? đối lập nếu chúng lập nên mộthệ đầy đủ biến cố.Kí hiệu: biến cố đối lập với ? kí hiệu là ?.ҧ ?. ?ҧ=?Tính chất: ቊ ? + ?ҧ = ?3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ3.1. Định nghĩa cổ điển về xác suấtTrong một phép thử có n kết cục đồng khả năngvới m kết cục thuận lợi cho biến cố A. Xác suấtcủa biến cố A, kí kiệu P(A) là tỷ số: m Số kết cục thuận lợi cho AP( A) = = n Số kết cục đồng khả năng có thể xảy raTính chất:• 0 ≤ ? ? ≤ 1.• ? ? = 1.• ? ? = 0. ...