Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 3 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Quy luật phân phối nhị thức; Quy luật phân phối Poisson; Quy luật phân phối chuẩn; Quy luật phân phối khi bình phương;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 3 - TS. Nguyễn Thị Tuyết MaiChương 3. Một số QLPP xác suất quan trọng3.1 Quy luật phân phối nhị thứcDãy phép thử Bernoulli• Thực hiện lặp lại nhiều lần một phép thử và các phép thử độc lập với nhau, ta có dãy các phép thử độc lập.• Cho một dãy các phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ có một trong hai trường hợp hoặc A xảy ra hoặc A không xảy ra. -Xác suất để xảy ra biến cố A là không đổi và bằng p. -Xác xuất để không xảy ra biến cố A bằng 1-p.• Dãy phép thử trên gọi là dãy phép thử Bernoulli. Bài toán thỏa mãn các yêu cầu trên đgl tuân theo lược đồ Bernoulli.• Gọi ? là số lần biến cố ? xuất hiện trong dãy n phép thử Bernoulli. Khi đó ? là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị 0,1,2,..,n với các xác suất tương ứng: ?? ? = ? ? = ? = ??? ?? ??−? (? = 1 − ?; ? = 0,1,2, . . , ?)• ĐLNN rời rạc ? có phân phối như trên được gọi là tuân theo quy luật nhị thức với các tham số ? và ?, ký hiệu ?~?(?, ?).Ví dụ: Thống kê cho thấy tỉ lệ người dùng điện thoạiIphone là 30%. Tìm xác xuất để khi phỏng vẫn ngẫunhiên 4 người thì có đúng 1 người dùng điện thoạiIphone?CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PP NHỊ THỨC• E(X) = np• Var(X) = npq• (n+1).p – 1 ≤ Mod(X) ≤ (n+1).pVí dụ: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lậpnhau, xác suất để mỗi máy bị hỏng trong khoảng thờigian T là 0,1. Tìm xác suất để trong khoảng thời gian T:a) Có 2 máy bị hỏng.b) Có không quá một máy bị hỏng.c) Gọi ? là số máy bị hỏng trong khoảng thời gian T. Tìm ? ? , ??? ? , ??? ? .TH đặc biệt: Khi số phép thử n=1, tức là ta chỉ thựchiện duy nhất 1 phép thử, trong đó xác suất để biến cốA xuất hiện là ?, và không xuất hiện là ? = 1 − ?.ĐLNN ? chỉ số lần xuất hiện của biến cố A tuân theoQLPP ?(1, ?), có bảng phân phối như sau: X 0 1 P q p• Luật phân phối ?(1, ?) còn được gọi là luật phân phối xác suất không-một, và kí hiệu là ?(?).• Khi đó: ? ? = ?; ??? ? = ??.3.2. Quy luật phân phối PoissonĐịnh nghĩa: ĐLNN rời rạc X đgl có phân phốiPoisson với tham số ?, ký hiệu là ?~?(?), nếu nónhận các giá trị có thể 0,1,2, . . với các xác suất nhưsau: ? −? ?? ? ? =? ?=? = ?!Áp dụng: ĐLNN ? chỉ số lần xuất hiện biến cố ?trong khoảng thời gian ? thì ? có phân phối Poisson.CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PP POISSON• ? ? = λ.• ??? ? = ?.• ? − 1 ≤ ??? ? ≤ ?.Ví dụ: Người ta thống kê số lượng khách hàng vàomột siêu thị thấy trung bình mỗi phút có 1 kháchhàng. Tìm xác suất để trong vòng 5 phút có 3 kháchhàng vào siêu thị. Biết số lượng khách vào siêu thịtrong 5 phút là một ĐLNN tuân theo quy luật phânphối Poisson.Mối liên hệ giữa phân phối Nhị thức và phân phốiPoisson:Định lý: Nếu ?~? ?, ? với ? khá lớn, ? khá bé(?? ≈ ???) thì ? ≃ ?(?) với ? = ??.Ví dụ: (Bài 3.27). Tỉ lệ hạt lép của một lô thóc giốnglà 3%.a. Cần phải chọn ra ít nhất bao nhiêu hạt để xác suấtcó ít nhất 1 hạt lép không nhỏ hơn 95%?b. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1000 hạt cótừ 3 đến 5 hạt lép.c. Chọn ngẫu nhiên ra 1000 hạt giống thấy có khôngquá 3 hạt lép. Tìm xác suất để trong 1000 hạt chọn racó đúng 3 hạt lép.3.2. Quy luật phân phối chuẩnĐịnh nghĩa: ĐLNN liên tục X nhận các giá trị trên ℝđược gọi là có phân phối chuẩn với tham số μ và σ >0, ký hiệu là ?~?(?, ? 2 ), nếu hàm mật độ xác suấtcủa nó có dạng: ( x− )2 1 − f ( x) = e 2 2  2Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X có phân phốichuẩn là: x (t −  )2 1 − F ( x) =  2 e − 2 2 dtĐồ thị của f(x) có dạng hình chuông, đối xứng qua đườngthẳng x =  và nhận Ox làm đường tiệm cận ngang.Ví dụ: PP chuẩn là PP quan trọng bậc nhất và thườngxuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực đời sống.CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PP CHUẨN• ? ? = ?. Hàm ? có trục đối xứng ? = ?.• ??? ? = ? 2 .• ??? ? = ?. Hàm ? đạt cực đại tại ? = ?.• Nếu X~N(μ, σ2) với μ = 0 và σ = 1 ta nói X có quy luật phân phối chuẩn hóa N(0,1) và hàm mật độ xác suất có dạng (hàm Gauss): x2 1 −  ( x) = e 2 2• Nếu X~N(μ, σ2), ta có: X -μ U= ~ N ( 0;1) σPhép biến đổi trên được gọi là chuẩn hóa đạilượng ngẫu nhiên.Công thức tính ? ? < ? < ? của ĐLNN?~?(?, ?? ) b−  a−  P ( a  X  b) =   −         x t2 1 − • Trong đó: ( x) ...