Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất cung cấp cho người học kiến thức về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất CHÖÔNG 2 Ñaïi löôïng ngaãu nhieân – Phaân phoái XS1. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc1.1 Ñònh nghóa Neáu moãi keát quaû cuûa moät pheùp thöû ngaãu nhieânñöôïc bieåu thò baèng moät giaù trò soá, ta coù moät ñaïilöôïng ngaãu nhieân (ÑLNN). Chính xaùc hôn, ÑLNN X laø moät haøm soá xaùcñònh treân khoâng gian maãu Ω sao cho moïi taäp hôïp coùdaïng (X < x) = {ω∈Ω / X(ω) = x} ñeàu laø bieán coá.Ghi chuù(X < x) laø bieán coá thì (X > x), (X = x) … ñeàu laø bieán coá. ÑLNN rôøi raïc laø ÑLNN maø caùc giaù trò noù coùtheå nhaän lieät keâ ñöôïc. Luùc naøy bieán coá ñeå X nhaängiaù trò x ghi laø (X = x). Xaùc suaát cuûa bieán coá naøy ñöôïcghi laø P(X = x).Ví duï(1) Tung con xuùc saéc, goïi X laø soá chaám xuaát hieän thìX laø moät ÑLNN coù theå nhaän caùc giaù trò 1, 2, 3, 4, 5,6. Ñaây laø moät ÑLNN rôøi raïc. Ta coù P(X=1) = 1/6.(2) Mua moät veù soá 5.000ñ cuûa thaønh phoá A, goïi X laøsoá tieàn truùng soá thì X laø moät ÑLNN rôøi raïc.(3) Goïi X laø soá laàn tung ñoàng xu cho ñeán khi ñöôïcmaët saáp thì X laø ÑLNN rôøi raïc.(4) Chieàu cao X (cm) cuûa moät sinh vieân trong lôùpñöôïc choïn ngaãu nhieân coù theå nhaän giaù trò laø moät soáthöïc trong khoaûng [140; 220]. Caùc giaù trò naøy khoânglieät keâ ñöôïc. X khoâng phaûi laø ÑLNN rôøi raïc.1.2 Baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN rôøi raïc Quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN rôøi raïcñöôïc bieåu thò döôùi daïng baûng phaân phoái xaùc suaát(baûng PPXS): X x1 x2 ... xn P p1 p2 ... pn Baûng phaân phoái kyù hieäu laø (xi, pi), i= 1, n. Ta phaûi coù: pi > 0, i=1, n vaø p1 + p2 + ... + pn = 1.Ví duï(1) Loâ haøng goàm 6 chính phaåm vaø 4 pheá phaåm. Laáyngaãu nhieân 2 saûn phaåm. Goïi X laø soá chính phaåm.Caùc giaù trò coù theå nhaän cuûa X laø 0, 1, 2. Ta coù: C24 2 C14 .C16 8 p1 = P(X=0) = 2 = p2 = P(X=1) = 2 = C10 15 C10 15 5 p3 = P(X=2) = 1 – p1 – p2 = 15 X 0 1 2Baûng phaân phoái cuûa X: P 2/15 8/15 5/15(2) Xaùc suaát trò khoûi beänh cuûa 1 vieân thuoác laø 90%.Beänh nhaân uoáng töøng vieân, chöa heát beänh thì uoángtieáp nhöng toái ña 3 vieân. Goïi X laø soá vieân thuoác beänhnhaân uoáng. Laäp baûng phaân phoái XS cuûa X.2. Caùc soá ñaëc tröng cuûa ÑLNN2.1 Kyø voïng2.1.1 Ñònh nghóa Ñeå ñaùnh giaù giaù trò trung bình cuûa moät ÑLNN,ta tính kyø voïng. Kyø voïng cuûa ÑLNN X kyù hieäu laøE(X). Kyø voïng cuûa ÑLNN X coù baûng phaân phoái(xi, pi), i=1, n ñöôïc ñònh nghóa: n E(X) = ∑ x i pi i =1ExcelNeáu caùc giaù trò xi, pi ñöôïc ghi trong mieàn M1, M2 thìE(X) =SUMPRODUCT(M1; M2) .Ví duï(1) Moät lôùp coù 50 sinh vieân. Sau moät kyø thi, keát quaûñieåm ñöôïc thoáng keâ nhö sau: Ñieåm 3 4 5 6 7 8 9 Soá SV 3 7 15 10 5 6 4Goïi X laø ñieåm cuûa moät sinh vieân gaëp ngaãu nhieân.Baûng phaân phoái cuûa ÑLNN X: X 3 4 5 6 7 8 9 3 7 15 10 5 6 4 P 50 50 50 50 50 50 50Ñieåm trung bình: E(X) = 5,82 (ñieåm)(2) Moät loâ haøng goàm 15 chính phaåm vaø 3 thöù phaåm.Chính phaåm ñöôïc baùn vôùi giaù 200.000ñ coøn thöùphaåm baùn vôùi giaù 150.000ñ. Tính trung bình thì thuñöôïc bao nhieâu tieàn khi baùn moät saûn phaåm?(3) Tung con xuùc saéc. Neáu xuaát hieän maët 1 hoaëc maët2 hoaëc maët 3 thì thua 1ñ, maët 4 thì hoaø, maët 5 thìthaéng 1ñ, maët 6 thì thaéng 2ñ. Goïi X laø soá tieàn thuñöôïc sau moãi laàn chôi. Tính kyø voïng cuûa ÑLNN X.(4) Xeùt ÑLNN X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i = 1, m .Thöïc hieän pheùp thöû n laàn. Goïi ki laø soá laàn X nhaängiaù trò xi. Giaù trò trung bình cuûa X trong n pheùp thöû: k x + k 2 x 2 + ... + k m x m X = 1 1 n k k k = 1 x1 + 2 x2 + ... + m x m = f1 x1 + f2 x 2 + ... + f m x m n n nTrong ñoù fi laø taàn suaát cuûa bieán coá (X=xi) ( i = 1, m ).Cho n → ∞ thì fi → pi ( i = 1, m ) vaø do ñoù X → E(X).Vaäy khi n ñuû lôùn thì X ≈ E(X). Ta noùi kyø voïng cuûamoät ÑLNN gaàn baèng vôùi giaù trò trung bình cuûa moätquan saùt cuûa ÑLNN naøy.2.1.2 Tính ñoäc laäp cuûa ÑLNN rôøi raïc Hai ÑLNN rôøi raïc X, Y goïi laø ñoäc laäp neáu moãibieán coá (X = x) ñeàu ñoäc laäp vôùi moïi toå hôïp tích cuûacaùc bieán coá coù daïng (Y = yj).Ví duï Goïi X laø ñieåm thi moân Toaùn, Y laø ngaøy sinh, Ulaø soá ngaøy ñi hoïc moân toaùn cuûa moät sinh vieân tronglôùp ñöôïc choïn ngaãu nhieân thì ...