Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 7: Ước lượng các số đặc trưng tổng thể

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 7: Ước lượng các số đặc trưng tổng thể cung cấp cho người học các kiến thức về ước lượng điểm, ước lượng khoảng. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 7: Ước lượng các số đặc trưng tổng thể CHÖÔNG 7 Öôùc löôïng caùc soá ñaëc tröng toång theå * Khoâng theå tính ñöôïc caùc soá ñaëc tröng toång theå.Töø moät maãu cuï theå, ta öôùc löôïng ñaëc tröng toång theå θbaèng caùch tuyeân boá θ laø θo (öôùc löôïng ñieåm) hoaëctuyeân boá θ thuoäc moät khoaûng (öôùc löôïng khoaûng).1. Öôùc löôïng ñieåm Ta tuyeân boá moãi soá ñaëc tröng öùng vôùi moät maãucuï theå laø soá ñaëc tröng töông öùng cuûa toång theå.1.1 Öôùc löôïng ñieåm trung bình toång theå µ Trung bình toång theå µ ñöôïc öôùc löôïng bôûi trungbình maãu ngaãu nhieân X . Coâng thöùc öôùc löôïng naøy coù tính chaát: Khoâng cheäch: Kyø voïng cuûa sai soá khi öôùc löôïngbaèng 0, töùc laø E( X – µ) = 0. Hieäu quaû: Phöông sai cuûa ( X – µ) laø nhoû nhaáttrong caùc coâng thöùc öôùc löôïng µ. Vöõng: X caøng gaàn µ khi kích thöôùc maãu caønglôùn.1.2 Öôùc löôïng ñieåm phöông sai toång theå σ2 Phöông sai toång theå σ2 ñöôïc öôùc löôïng bôûiphöông sai maãu ngaãu nhieân S2. Coâng thöùc öôùc löôïng ñieåm naøy laø khoâng cheäch,vöõng.1.3 Öôùc löôïng ñieåm tyû leä toång theå p Tyû leä toång theå p ñöôïc öôùc löôïng baèng vôùi tyû leämaãu ngaãu nhieân F. Coâng thöùc öôùc löôïng ñieåm naøy laø khoâng cheäch.Ví duï Ño chieàu cao (m) cuûa 50 caây röøng ta coù baûng: Chieàu cao Soá löôïng Chieàu cao Soá löôïng 6,25–6,75 1 8,25–8,75 18 6,75–7,25 2 8,75–9,25 9 7,25–7,75 5 9,25–9,75 3 7,75–8,25 11 9,75–10,2 1 ÖÙôùc löôïng chieàu cao trung bình, ñoä leäch chuaånvaø tyû leä caây cao töø 7,75m ñeán 8,75m.2. Öôùc löôïng khoaûng Xeùt maãu ngaãu nhieân X1, X2, ..., Xn. Choïn 2 thoáng ˆ ˆkeâ θ 1 , θ 2 , töùc laø laäp 2 haøm n-bieán X1, X2, ..., Xn. Soá ˆ ˆ ñaëc tröng toång theå θ ñöôïc xem thuoäc khoaûng [ θ , θ ] 1 2(khoaûng tin caäy) vôùi xaùc suaát 1–α. 1–α goïi laø ñoätin caäy. Vôùi ñoä tin caäy 1–α töø 95% trôû leân, ta cho raèng ˆ ˆ bieán coá θ1 ≤ θ ≤ θ2 chaéc chaén xaûy ra trong thöïc teá.Ghi chuù Ta cuõng coù theå xeùt khoaûng öôùc löôïng moät phía2.1 Öôùc löôïng khoaûng trung bình toång theå µ Xeùt maãu ngaãu nhieân X1, X2,…, Xn vaø ñoä tin caäy1–α. Ta choïn khoaûng ngaãu nhieân daïng ( X − ε, X + ε)ñeå öôùc löôïng µ. ε goïi laø ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng. Ñeå tìm khoaûng ngaãu nhieân öôùc löôïng µ, ta caànxaùc ñònh coâng thöùc tính ñoä chính xaùc ε. TH1 n ≥ 30 vaø bieát phöông sai toång theå σ2 X −µ Xeùt Z = . Neáu X coù phaân phoái Chuaån thì Z σ/ ncoù phaân phoái Chuaån Chính taéc. Neáu chöa bieát quyluaät phaân phoái cuûa X thì töø giaû thieát n ≥ 30, ta xaápxæ Z vôùi phaân phoái Chuaån Chính taéc. Ta coù: P( X – ε < µ < X + ε) = 1−α ⇔ P( X – µ < ε) = 1−α ⇔ P( X −µ> ε) = α X−µ ε ε ⇔ P( > ) = α ⇔ P(Z> )=α σ/ n σ/ n σ/ n ε ε ⇔ P(Z > ) + P(Z < − )=α σ/ n σ/ n ε ε ⇔ 2P(Z > ) = α ⇔ P(Z > ) = α/2 σ/ n σ/ n ε Ñaúng thöùc cuoái chöùng toû laø phaân vò möùc σ/ nα/2 cuûa phaân phoái Chuaån Chính taéc. Vaäy: ε σ = zα/2 ⇒ ε = zα / 2 σ/ n n Laáy maãu cuï theå kích thöôùc n, ta tính ñöôïc giaù tròε vaø do ñoù tìm ñöôïc khoaûng tin caäy ( x −ε, x +ε) vôùi ñoätin caäy 1–α ñeå öôùc löôïng µ. TH2 n < 30, bieát phöông sai toång theå σ2 vaø X coù phaân phoái Chuaån X −µ Luùc naøy coù phaân phoái Chuaån Chính taéc. σ/ nVaäy taát caû laäp luaän cuõng nhö coâng thöùc neâu treân ñeàuaùp duïng ñöôïc. TH3 n ≥ 30 vaø chöa bieát phöông sai toång theå σ2 X −µ Luùc naøy coù phaân phoái Student baäc töï do S/ n(n–1). Theo giaû thieát n ≥ 30, phaân phoái Student ñöôïcxaáp xæ vôùi phaân phoái Chuaån Chính taéc; hôn nöõa, Scuõng ñöôïc xaáp xæ bôûi s. Vaäy taát caû laäp luaän cuõng nhöcoâng thöùc neâu treân ñeàu aùp duïng ñöôïc, mieãn laø thay σbôûi s khi tính ε öùng vôùi maãu cuï theå. TH4 n ≤ 30, chöa bieát phöông sai toång theå σ2, X coù phaân phoái Chuaån X −µ Luùc naøy ...