Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 6 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Phương pháp ULD; Phương pháp UL khoảng tin cậy; Ước lượng tỷ số hai phương sai. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến CHƯƠNG 6 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 1 ƯỚC LƯỢNG • Ước lượng điểm • Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai • Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch hai tỷ lệ • Ước lượng tỷ số hai phương sai nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 2 Ước lượng • Tổng thể có tham số  chưa biết. • Ta muốn xác định tham số này. • Lấy một mẫu ngẫu nhiên cỡ n. • Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của tham số  của tổng thể. • Ước lượng điểm: dùng một giá trị. • Ước lượng khoảng: dùng một khoảng. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 3 Thống kê mẫu và Ước lượng điểm • Định nghĩa. Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) của tổng thể. Một hàm của các biến ngẫu nhiên X1, X2, ..., Xn được gọi là thống kê mẫu (statistic). • Định nghĩa. Một thống kê mẫu T(X1, X2, ..., Xn) được sử dụng để ước lượng cho tham số  được gọi là một ước lượng điểm của  . nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 4 6.1 Ước lượng điểm • Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số  chưa biết của tổng thể. • Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào đó của mẫu ngẫu nhiên. • Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số . • Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu quả, vững … nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 5 Ước lượng không chệch (ƯLKC) • Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng không chệch của tham số  nếu: E(T)   • Nếu E(T) thì ước lượng T gọi là một ước lượng chệch (ƯLC) của tham số . • Độ chệch của ước lượng: E(T)   nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 6 Ví dụ 1 • Theo lý thuyết mẫu ta có:   E X  E  S *2    2 X la ULKC cua  F la ULKC cua p  2   n  1  2 E S  n S *2 , S 2 la ULKC cua  2 E S2    2  2 la UL chech cua  2 S EF   p nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 7 Ước lượng KC tốt hơn • Cho X, Y là hai ULKC của tham số . • Có nghĩa là: E  X    E Y    • Nếu: V  X   V Y  • Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số  nhiều hơn). nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 8 Ví dụ 1. • Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn). a) CMR: các thống kê sau: X1  X2 X1  X2  ...  Xn Z1  X1; Z2  ; Zn  2 n đều là các ước lượng không chệch của . b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 9 Ước lượng hiệu quả • Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả của tham số  nếu: • T là ULKC của  • V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên. • Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để đánh giá. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 10 BĐT Cramer-Rao • Biến nn gốc X có hàm mật độ hoặc công thức tính xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) và thỏa mãn một số điều kiện nhất định. • Cho T là một ƯLKC của θ. Ta luôn có: 1 V T   2   ln  f  X ,     nE        • Vậy ULKC nào thỏa mãn dấu “=“ thì đó là ULHQ nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 11 Ví dụ 2. • Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê: X 1  2 X 2  ...  nX n X 1  X 2  ...  X n Z1  2 ;X n  n  1 n a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không chệch của . b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 12 Ví dụ 3 Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR: là ước lượng hiệu quả nhất của tham số μ. Giải. Dễ thấy, là ước lượng không chệch và: 2  Var X    n Hàm ppxs của tổng thể: ...